Système différentiel

bonjour,
J'essaie de résoudre le système suivant:
x'= 4x - 2y
y'= x + y

premièrement j'ai transposé ce système dans une matrice.

puis je tente de calculer les valeurs propres.

Je trouve comme polynôme caractéristique:
$λ2−5+6\lambda ^{2} -5+6$

Par contre impossible de factoriser ( a part les lambda dans chaque parenthèse), donc je fais plein d'essai mais en DS je n'aurai pas un temps illimité . c'est pour ça que je me demandais s'il n'y avais pas une méthode pour calculer rapidement.

Merci

Bonjour,

Je pense que tu as fait une faute de frappe et qu'il s'agit de
$λ2−5λ+6\lambda^2-5\lambda+6$

Tu dois résoudre $λ2−5λ+6=0\lambda^2-5\lambda+6=0$

Il s'agit d'une équation du second degré d'inconnue λ

Il y a des formules usuelles pour cela que tu dois trouver dans des cours de 1S

Tu dois trouver deux valeurs pour λ : λ $_1$ =2 et λ $_2$ =3

Je te mets un lien pour les formules

http://www.mathforu.com/pdf/ExemplesSecondDegre.pdf

bonsoir,
si j'utilise les bonnes méthodes:

x1= $−5−racine(1)2\frac{-5-racine(1)}{2}$ mais j'obtiens -3

x2= -2

Pourquoi j'obtiens ces moins, alors que pas vous? j'utilise mal les formules?

Recompte . Il y a une erreur de signe dans ton calcul.

Il y a bien deux valeurs propres positives qui sont 2 et 3

b=5
a= 1

-b-√1 = -6
-6/2=-3

Tu fais une erreur sur la valeur de b

b =-5 donc**-b = 5**

mais bien sûr je faisais -b au lieu de -(-b).

Maintenant que j'ai trouvé les valeurs propres il faut selon mon cours trouver les vecteurs propres.
Mais que dois-je mettre dans les parenthèses pour que cela donne un vecteur propre?
Est ce que la somme de ce qui a dans la parenthèse doit être égal à la valeur propre?

Je ne comprends pas ta dernière phrase

Je ne suis pas sûre d'expliquer de la même façon que ton cours...

Principe pour les Vecteurs propres de coordonnées (x,y) associés à une valeur λ

Soit

$a=\left(4 -2\1\ \ 1\right)$

$i_2=\left(1\ \ 0 \0\ \ 1\right)$

$(a-\lambda i_2)\times \left(x\y\right )=\left(0\0\right )$

Pour
λ=2

$(a-2i_2)\times \left(x\y\right )=\left(0\0\right )$

Après calculs, on obtient

$\left{2x-2y=0\x-y=0\right$

Au final : x=y

Les vecteurs propres associés à λ=2 sont donc les vecteurs V de coordonnées (x,x), avec x appartenant à R
Par exemple V de coordonnées (1,1) est un vecteur propre associé à λ=2

Tu peux traiter de la même manière le cas λ=3

pour $λ3\lambda 3$
je trouve:

x=2y
y=-x/-2

après une fois que j'ai ça je ne sais pas quoi faire !

Bonne soirée

Oui pour λ=3

Les vecteurs propres associés à λ=3 sont donc les vecteurs W de coordonnées (x,x/2), avec x appartenant à R
Par exemple W de coordonnées (2,1) est un vecteur propre associé à λ=3

Pour la conclusion à tirer (Solution du système) , regarde ton cours.

Eventuellement, consulte ici (paragraphe 1.1 et 1.2)

http://c.caignaert.free.fr/chapitre20/node1.html#SECTION00011000000000000000

Oulala ça se complique d'un coup.
Si je comprends bien il faut maintenant diagonaliser la matrice. Dans ce cas A est diagonalisable car $0amp;3)\begin{pmatrix} 2 &0 \ 0 &3 \end{pmatrix}$

Tu n'as pas besoin de diagonaliser la matrice mais seulement de savoir si elle est diagonalisable.

Or, si une matrice de taille n a n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable.

C'est le cas ici (avec n=2) donc pas de problème à ce sujet.

Tu peux maintenant conclure sur la Solution du système.

Je viens de trouver la correction à cet exercice sur internet.

Ils mettent bien que les valeurs propres sont 2 et 3 et qu'elle est donc diagonalisable.
Si p= $1amp;1)\begin{pmatrix} 1 &2 \ 1&1 \end{pmatrix}$
on a A= P Diag(2,3) P^-1.
Si Y=$\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}$ en posant Y= PC on obtient X' = Diag(2,3)X. Les solutions de de Y'=AY sont
Y(t)= $\alpha \begin{pmatrix} e~^2^t\ e~^2^t \end{pmatrix}$ + $\beta \begin{pmatrix} 2e^3^t\ e^3^t \end{pmatrix}$

A quoi sert tout ce superflux?

Il n' y a pas de superflu ; tout dépend des théorèmes vus dans ton cours.

Les deux voies sont possibles (avec ou sans les vecteurs propres)

Selon ton cours, comme tu l'as indiqué, tu as voulu chercher des
vecteurs propres.

En passant pas les vecteurs propres , en justifiant que la matrice (que j'ai appelé A) est diagonalisable, tu dois utiliser le théorème que je t'ai donné dans le lien et ainsi trouver , en utilisant les vecteurs propres V et W :

$y(t)=k_1e^{2t}v+k_2e^{3t}w$

$y(t)=k_1e^{2t}\left(1\1\right)+k_2e^{3t}\left(2\1\right)$

$y(t)=k_1\left(e^{2t}\e^{2t}\right)+k_2\left(2e^{3t}\e^{3t}\right)$

(Remarque : j'ai appelé $k_1$ et $k_2$ les constantes à la place de α β car j'avais déjà utilisé ces notations )

La correction que tu as trouvée sur Internet, sans passer par les vecteurs propres, est exacte ; elle passe par la matrice diagonale, c'est plus rapide, mais tu ne peux faire ainsi que si la propriété utilisée fait partie de ton cours !.

A toi de voir ce que tu dois faire en fonction de ton cours...

D'accord je vais essayer de comprendre les différentes méthodes qui s'offrent à moi.

Merci pour tout Mtschoon.

Bonne soirée

De rien !

A+

Salut,

x'= 4x - 2y
y'= x + y

x = y' - y
x' = y'' - y'

y'' - y' = 4(y'-y) - 2y
y'' - 5y' + 6y = 0

y(t) = A.e^(2t) + B.e^(3t)

x = y' - y
x = 2A.e^(2t) + 3B.e^(3t) - A.e^(2t) - B.e^(3t)
x(t) = A.e^(2t) + 2B.e^(3t)

Groupement des résultats :

x(t) = A.e^(2t) + 2B.e^(3t)
y(t) = A.e^(2t) + B.e^(3t)

Avec A et B des constantes.

Sauf si je me suis trompé.