Système différentiel



  • bonjour,
    J'essaie de résoudre le système suivant:
    x'= 4x - 2y
    y'= x + y

    premièrement j'ai transposé ce système dans une matrice.

    puis je tente de calculer les valeurs propres.

    Je trouve comme polynôme caractéristique:
    λ25+6\lambda ^{2} -5+6

    Par contre impossible de factoriser ( a part les lambda dans chaque parenthèse), donc je fais plein d'essai mais en DS je n'aurai pas un temps illimité . c'est pour ça que je me demandais s'il n'y avais pas une méthode pour calculer rapidement.

    Merci


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je pense que tu as fait une faute de frappe et qu'il s'agit de
    λ25λ+6\lambda^2-5\lambda+6

    Tu dois résoudre λ25λ+6=0\lambda^2-5\lambda+6=0

    Il s'agit d'une équation du second degré d'inconnue λ

    Il y a des formules usuelles pour cela que tu dois trouver dans des cours de 1S

    Tu dois trouver deux valeurs pour λ : λ1_1=2 et λ2_2=3

    Je te mets un lien pour les formules

    http://www.mathforu.com/pdf/ExemplesSecondDegre.pdf



  • bonsoir,
    si j'utilise les bonnes méthodes:

    x1=5racine(1)2\frac{-5-racine(1)}{2} mais j'obtiens -3

    x2= -2

    Pourquoi j'obtiens ces moins, alors que pas vous? j'utilise mal les formules?


  • Modérateurs

    Recompte . Il y a une erreur de signe dans ton calcul.

    Il y a bien deux valeurs propres positives qui sont 2 et 3



  • b=5
    a= 1

    -b-√1 = -6
    -6/2=-3


  • Modérateurs

    Tu fais une erreur sur la valeur de b

    b =-5 donc**-b = 5**



  • mais bien sûr je faisais -b au lieu de -(-b).

    Maintenant que j'ai trouvé les valeurs propres il faut selon mon cours trouver les vecteurs propres.
    Mais que dois-je mettre dans les parenthèses pour que cela donne un vecteur propre?
    Est ce que la somme de ce qui a dans la parenthèse doit être égal à la valeur propre?


  • Modérateurs

    Je ne comprends pas ta dernière phrase

    Je ne suis pas sûre d'expliquer de la même façon que ton cours...

    Principe pour les Vecteurs propres de coordonnées (x,y) associés à une valeur λ

    Soit

    a=(42\1  1)a=\left(4 -2\1\ \ 1\right)

    i2=(1  0\0  1)i_2=\left(1\ \ 0 \0\ \ 1\right)

    (aλi2)×(x\y)=(0\0)(a-\lambda i_2)\times \left(x\y\right )=\left(0\0\right )

    Pour
    λ=2

    (a2i2)×(x\y)=(0\0)(a-2i_2)\times \left(x\y\right )=\left(0\0\right )

    Après calculs, on obtient

    $\left{2x-2y=0\x-y=0\right$

    Au final : x=y

    Les vecteurs propres associés à λ=2 sont donc les vecteurs V de coordonnées (x,x), avec x appartenant à R
    Par exemple V de coordonnées (1,1) est un vecteur propre associé à λ=2

    Tu peux traiter de la même manière le cas λ=3



  • pour λ3\lambda 3
    je trouve:

    x=2y
    y=-x/-2

    après une fois que j'ai ça je ne sais pas quoi faire !

    Bonne soirée


  • Modérateurs

    Oui pour λ=3

    Les vecteurs propres associés à λ=3 sont donc les vecteurs W de coordonnées (x,x/2), avec x appartenant à R
    Par exemple W de coordonnées (2,1) est un vecteur propre associé à λ=3

    Pour la conclusion à tirer (Solution du système) , regarde ton cours.

    Eventuellement, consulte ici (paragraphe 1.1 et 1.2)

    http://c.caignaert.free.fr/chapitre20/node1.html#SECTION00011000000000000000



  • Oulala ça se complique d'un coup.
    Si je comprends bien il faut maintenant diagonaliser la matrice. Dans ce cas A est diagonalisable car (2amp;0 0amp;3)\begin{pmatrix} 2 &0 \ 0 &3 \end{pmatrix}


  • Modérateurs

    Tu n'as pas besoin de diagonaliser la matrice mais seulement de savoir si elle est diagonalisable.

    Or, si une matrice de taille n a n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable.

    C'est le cas ici (avec n=2) donc pas de problème à ce sujet.

    Tu peux maintenant conclure sur la Solution du système.



  • Je viens de trouver la correction à cet exercice sur internet.

    Ils mettent bien que les valeurs propres sont 2 et 3 et qu'elle est donc diagonalisable.
    Si p=(1amp;2 1amp;1)\begin{pmatrix} 1 &2 \ 1&1 \end{pmatrix}
    on a A= P Diag(2,3) P^-1.
    Si Y=(x\y)\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix} en posant Y= PC on obtient X' = Diag(2,3)X. Les solutions de de Y'=AY sont
    Y(t)= $\alpha \begin{pmatrix} e~^2^t\ e~^2^t \end{pmatrix}$ + $\beta \begin{pmatrix} 2e^3^t\ e^3^t \end{pmatrix}$

    A quoi sert tout ce superflux?


  • Modérateurs

    Il n' y a pas de superflu ; tout dépend des théorèmes vus dans ton cours.

    Les deux voies sont possibles (avec ou sans les vecteurs propres)

    Selon ton cours, comme tu l'as indiqué, tu as voulu chercher des
    vecteurs propres.

    En passant pas les vecteurs propres , en justifiant que la matrice (que j'ai appelé A) est diagonalisable, tu dois utiliser le théorème que je t'ai donné dans le lien et ainsi trouver , en utilisant les vecteurs propres V et W :

    y(t)=k1e2tv+k2e3twy(t)=k_1e^{2t}v+k_2e^{3t}w

    y(t)=k1e2t(1\1)+k2e3t(2\1)y(t)=k_1e^{2t}\left(1\1\right)+k_2e^{3t}\left(2\1\right)

    y(t)=k1(e2t\e2t)+k2(2e3t\e3t)y(t)=k_1\left(e^{2t}\e^{2t}\right)+k_2\left(2e^{3t}\e^{3t}\right)

    (Remarque : j'ai appelé k1k_1 et k2k_2 les constantes à la place de α β car j'avais déjà utilisé ces notations )

    La correction que tu as trouvée sur Internet, sans passer par les vecteurs propres, est exacte ; elle passe par la matrice diagonale, c'est plus rapide, mais tu ne peux faire ainsi que si la propriété utilisée fait partie de ton cours !.

    A toi de voir ce que tu dois faire en fonction de ton cours...



  • D'accord je vais essayer de comprendre les différentes méthodes qui s'offrent à moi.

    Merci pour tout Mtschoon.

    Bonne soirée


  • Modérateurs

    De rien !

    A+



  • Salut,

    x'= 4x - 2y
    y'= x + y

    x = y' - y
    x' = y'' - y'

    y'' - y' = 4(y'-y) - 2y
    y'' - 5y' + 6y = 0

    y(t) = A.e^(2t) + B.e^(3t)

    x = y' - y
    x = 2A.e^(2t) + 3B.e^(3t) - A.e^(2t) - B.e^(3t)
    x(t) = A.e^(2t) + 2B.e^(3t)

    Groupement des résultats :

    x(t) = A.e^(2t) + 2B.e^(3t)
    y(t) = A.e^(2t) + B.e^(3t)

    Avec A et B des constantes.

    Sauf si je me suis trompé. 🆒


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