Algèbre linéaire Matrice A^n

[raphael2]

Bonjour,

Soit $a=\left(1\ 2\ 2\2\ 1\ 2\2\ 2\ 1\right)$

Calculer $a^n$

Merci pour l'aide

(énoncé reconstitué)

[mtschoon]

Bonjour,

Idée : décomposer A en utilisant la matrice identité I et développer avec la formule du binôme.

Piste,

$a=\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)+ \left(1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\right)$

Soit $b=\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)$ et $i=\left(1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\right)$

Il faut étudier B de près

$b^2=\left(3\ 3\ 3\3\ 3\ 3\3\ 3\ 3\right)=3\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)=3b$

$b^3=\left(9\ 9\ 9\9\ 9\ 9\9\ 9\ 9\right)=3^2\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)=3^2b$

Par récurrence, tu prouves que pour tout k (k ≥ 1) , $b^k=3^{k-1}b$

Formule du binôme appliquée aux matrices pour calculer $A^n$

$a^n=(b+i)^n=\sum_{k=0}^{k=n} \left(n\k\right)b^ki^{n-k}=\sum_{k=0}^{k=n} \left(n\k\right)b^k$

$a^n=i^n+\sum_{k=1}^{k=n} \left(n\k\right)b^k$

$a^n=i+\sum_{k=1}^{k=n} \left(n\k\right)3^{k-1}b$

$a^n=i+\frac{1}{3}(\sum_{k=1}^{k=n} \left(n\k\right)3^{k})b$

Encore la formule du binôme (appliquée cette fois aux réels)

$a^n=i+\frac{1}{3}((3+1{)}^n-1)b$

$\fbox{a^n=i+\frac{1}{3}(4^n-1)b}$

Je te laisse terminer en remplaçant I et B par leurs valeurs et en terminant le calcul

[mtschoon]

Sauf erreur, tu dois trouver

$a^n=\left(1+(1/3)(4^n-1)\ \ \ (1/3)(4^n-1)\ \ \ (1/3)(4^n-1)\(1/3)(4^n-1)\ \ \ 1+(1/3)(4^n-1)\ \ \ (1/3)(4^n-1)\(1/3)(4^n-1)\ \ \ \ \ \ (1/3)(4^n-1)\ \ \ 1+(1/3)(4^n-1)\right)$

Pour tester, tu peux calculer, par exemple, A² de deux façons différentes et t'assurer que le résultat est bien le même :

Calcule $A^2$ avec A x A et $A^2$ avec la formule trouvée (en remplaçant n par 2)

Tu dois trouver, sauf erreur,

$a^2=\left(6\ 5\ 5\5\ 6\ 5\5\ 5\ 6\right)$

Bon entraînement à ton contrôle !