Algèbre linéaire Matrice A^n



  • Bonjour,

    Soit a=(1 2 2\2 1 2\2 2 1)a=\left(1\ 2\ 2\2\ 1\ 2\2\ 2\ 1\right)

    Calculer ana^n

    Merci pour l'aide

    (énoncé reconstitué)


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Idée : décomposer A en utilisant la matrice identité I et développer avec la formule du binôme.

    Piste,

    a=(1 1 1\1 1 1\1 1 1)+(1 0 0\0 1 0\0 0 1)a=\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)+ \left(1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\right)

    Soit b=(1 1 1\1 1 1\1 1 1)b=\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right) et i=(1 0 0\0 1 0\0 0 1)i=\left(1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\right)

    Il faut étudier B de près

    b2=(3 3 3\3 3 3\3 3 3)=3(1 1 1\1 1 1\1 1 1)=3bb^2=\left(3\ 3\ 3\3\ 3\ 3\3\ 3\ 3\right)=3\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)=3b

    b3=(9 9 9\9 9 9\9 9 9)=32(1 1 1\1 1 1\1 1 1)=32bb^3=\left(9\ 9\ 9\9\ 9\ 9\9\ 9\ 9\right)=3^2\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)=3^2b

    Par récurrence, tu prouves que pour tout k (k ≥ 1) , bk=3k1bb^k=3^{k-1}b

    Formule du binôme appliquée aux matrices pour calculer AnA^n

    an=(b+i)n=\bigsumk=0k=n(n\k)bkink=\bigsumk=0k=n(n\k)bka^n=(b+i)^n=\bigsum_{k=0}^{k=n} \left(n\k\right)b^ki^{n-k}=\bigsum_{k=0}^{k=n} \left(n\k\right)b^k

    an=in+\bigsumk=1k=n(n\k)bka^n=i^n+\bigsum_{k=1}^{k=n} \left(n\k\right)b^k

    an=i+\bigsumk=1k=n(n\k)3k1ba^n=i+\bigsum_{k=1}^{k=n} \left(n\k\right)3^{k-1}b

    an=i+13(\bigsumk=1k=n(n\k)3k)ba^n=i+\frac{1}{3}(\bigsum_{k=1}^{k=n} \left(n\k\right)3^{k})b

    Encore la formule du binôme (appliquée cette fois aux réels)

    an=i+13((3+1)n1)ba^n=i+\frac{1}{3}((3+1)^n-1)b

    an=i+13(4n1)b\fbox{a^n=i+\frac{1}{3}(4^n-1)b}

    Je te laisse terminer en remplaçant I et B par leurs valeurs et en terminant le calcul


  • Modérateurs

    Sauf erreur, tu dois trouver

    an=(1+(1/3)(4n1)   (1/3)(4n1)   (1/3)(4n1)\(1/3)(4n1)   1+(1/3)(4n1)   (1/3)(4n1)\(1/3)(4n1)      (1/3)(4n1)   1+(1/3)(4n1))a^n=\left(1+(1/3)(4^n-1)\ \ \ (1/3)(4^n-1)\ \ \ (1/3)(4^n-1)\(1/3)(4^n-1)\ \ \ 1+(1/3)(4^n-1)\ \ \ (1/3)(4^n-1)\(1/3)(4^n-1)\ \ \ \ \ \ (1/3)(4^n-1)\ \ \ 1+(1/3)(4^n-1)\right)

    Pour tester, tu peux calculer, par exemple, A² de deux façons différentes et t'assurer que le résultat est bien le même :

    Calcule A2A^2 avec A x A et A2A^2 avec la formule trouvée (en remplaçant n par 2)

    Tu dois trouver, sauf erreur,

    a2=(6 5 5\5 6 5\5 5 6)a^2=\left(6\ 5\ 5\5\ 6\ 5\5\ 5\ 6\right)

    Bon entraînement à ton contrôle !


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