Algèbre linéaire Matrice A^n


  • R

    Bonjour,

    Soit $a=\left(1\ 2\ 2\2\ 1\ 2\2\ 2\ 1\right)$

    Calculer ana^nan

    Merci pour l'aide

    (énoncé reconstitué)


  • mtschoon

    Bonjour,

    Idée : décomposer A en utilisant la matrice identité I et développer avec la formule du binôme.

    Piste,

    $a=\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)+ \left(1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\right)$

    Soit $b=\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)$ et $i=\left(1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\right)$

    Il faut étudier B de près

    $b^2=\left(3\ 3\ 3\3\ 3\ 3\3\ 3\ 3\right)=3\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)=3b$

    $b^3=\left(9\ 9\ 9\9\ 9\ 9\9\ 9\ 9\right)=3^2\left(1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\1\ 1\ 1\right)=3^2b$

    Par récurrence, tu prouves que pour tout k (k ≥ 1) , bk=3k−1bb^k=3^{k-1}bbk=3k1b

    Formule du binôme appliquée aux matrices pour calculer AnA^nAn

    $a^n=(b+i)^n=\sum_{k=0}^{k=n} \left(n\k\right)b^ki^{n-k}=\sum_{k=0}^{k=n} \left(n\k\right)b^k$

    $a^n=i^n+\sum_{k=1}^{k=n} \left(n\k\right)b^k$

    $a^n=i+\sum_{k=1}^{k=n} \left(n\k\right)3^{k-1}b$

    $a^n=i+\frac{1}{3}(\sum_{k=1}^{k=n} \left(n\k\right)3^{k})b$

    Encore la formule du binôme (appliquée cette fois aux réels)

    an=i+13((3+1)n−1)ba^n=i+\frac{1}{3}((3+1)^n-1)ban=i+31((3+1)n1)b

    $\fbox{a^n=i+\frac{1}{3}(4^n-1)b}$

    Je te laisse terminer en remplaçant I et B par leurs valeurs et en terminant le calcul


  • mtschoon

    Sauf erreur, tu dois trouver

    $a^n=\left(1+(1/3)(4^n-1)\ \ \ (1/3)(4^n-1)\ \ \ (1/3)(4^n-1)\(1/3)(4^n-1)\ \ \ 1+(1/3)(4^n-1)\ \ \ (1/3)(4^n-1)\(1/3)(4^n-1)\ \ \ \ \ \ (1/3)(4^n-1)\ \ \ 1+(1/3)(4^n-1)\right)$

    Pour tester, tu peux calculer, par exemple, A² de deux façons différentes et t'assurer que le résultat est bien le même :

    Calcule A2A^2A2 avec A x A et A2A^2A2 avec la formule trouvée (en remplaçant n par 2)

    Tu dois trouver, sauf erreur,

    $a^2=\left(6\ 5\ 5\5\ 6\ 5\5\ 5\ 6\right)$

    Bon entraînement à ton contrôle !


Se connecter pour répondre