Relations binaires sur un ensemble

Bonjour,
J'ai un exercice binaire à faire sur les relations binaires.
J'ai les définitions mais aucuns exemples associés donc je ne sais pas qu'elle démarche appliquer pour arriver à déterminer si : Réfléxive, Transitive, Symetrique, Antisémetrique, préordre, ordre et équivalence.

Les relations sont:

R4 sur Z n R4 p n et p ont le même quotient par 3
R5 sur N n R5 p n<2 x p
R6 sur N n R6 p 2 x n < p

si vous pouvez m'aider ça serait super.

Merci et bon week end

Bonjour,

Vu que tu as les définitions, je suppose que tu as compris que les quatre propriétés (réflexivité, transitivité symétrie et antisymétrie) te permettaient de conclure sur la nature de la relation binaire (relation de préordre, d'ordre ou d'équivalence).

Il faut donc analyser les quatre propriétés indiquées.

Quelques pistes,

Pour R4

Je suppose qu'il s'agit de la division euclidienne dans Z

n R4 p veut dire n et p on le même quotient q par 3, c'est à dire que $n=3q+r_1$ et $p=3q+r_2$

*exemples pour comprendre : *

16 R4 17 est vrai car 16=3(5)+1 et 17=3(5)+2

16 R4 57 est faux car 16=3(5)+1 et 57=8(7)+1

Pour R4, les propriétés sont quasiment évidentes.

Réflexivité : Vraie

Pour tout n de Z, n Rn n est vraie

En effet, tout entier n a même quotient , par la division par 3, que lui même.

Transitivité : vraie

Pour tour n de Z, pour tout p de Z, pour tout s de Z :

n R4 p et p R4 r vraies => n R s vraie

en effet :

$\left{n=3q+r_1\p=3q+r_2\right$
$\left{p=3q_1+r_3\s=3q_1+r_4\right$

Vu que p est le même dans les deux conditions écrites, la division par 3 de p est unique donc $q=q_1$ et $r_2=r_3$

conclusion :
$\left{n=3q+r_1\s=3q+r_4\right$

Symétrie : Vraie

Pour tour n de Z, pour tout p de Z

n R4 p vraie => p R4 n vraie

En effet, si n et p ont le même quotient q , par la division par 3, évidemment, p et n ont le même quotient q , par la division par 3

Antisymétrie ; Fausse

Pour tout n de Z, pour tout p de Z

n R4 p et p R4 n => n=p (?) : cette implication est fausse

En effet :

$\left{n=3q+r_1\p=3q+r_2\right$
donc $n-p=r_1-r_2$

r1-r2 n'est pas forcément nul , donc n n'est pas forcément égal à p

par exemple

16 R4 17 et 17 R4 16 sont vraies mais 16 n'est pas égal à 17 ...

Bilan général: R4 est une relation d'équivalence dans Z
Lorsque tu auras bien assimilé ces propriétés, traite R5

Si besoin, tu pourras nous donner les résultats que tu auras trouvés pour vérification.

Bonjour et merci pour la qualité de l’explication.

J'ai du mal à comprendre pour R5 et R6 comment traiter :

n<2xp
2xn <p

est ce que il faut faire:
n=15
p=16

15<2x16

R6 se traite de la même façon que R5.

Donc, commence parbien comprendre la méthode et fais R5 avec soin.

Pour R5

un exemple pour comprendre (ça ne fait pas partie de la solution, bien sûr):

3 R5 2 est vraie car 3 < 2(2)

L'exemple que tu indiques est bon aussi

15 R5 16 est vraie car 15 < 2(16)

Réflexivité : Non

Pour tout n de N , n R5 n est-elle toujours vraie ? Non

En effet

n R5 n <=> n < 2(n) <=> n < 2n <=> 2n-n > 0 <=> n > 0

Pour n =0 , 0 R5 0 est fausse ( 0 fait partie de N...)

Essaie de poursuivre.

Si tu as besoin d'une vérification pour R5, je t'indique les résultats

R5 non réflexive

R5 non transitive
(par exemple 12 R5 7 et 7 R5 4 sont vraies mais 12 R5 4 est fausse)

R5 non symétrique
(par exemple 20 R5 50 est vraie mais 50 R5 20 est fausse)

R5 non antisymétrique

Bonsoir,
Pour R5,

Elle n'est pas réflexive car prenons pour exemple 3 R5 1 -> 3>2 alors que l'on veut n<2p

Transitive je ne suis pas sûr d'avoir bien compris.

Symétrique: non car 50>20

N et P ne sont pas forcément égaux.

Est-ce ce raisonnement?

Tu dois revoir la définition du mot "reflexivité" : il s'agit de
''n relation n"

Je t'ai donné une justification de la non-réflexivité de R5 dans mon avant-dernière réponse

Pour la transitivité:

n relationt VRAIE et t relation s VRAIE=> n relation s VRAIE

Pour justifier la non-transitivité, un contre-exemple suffit

J'ai pris n=12 , t=7 , s=4

Pour la symétrie, j'ignore si tu as compris.

Pour justifier la non-symétrie, j'ai encore pris ****un contre-exemple

n R5 t vraie et t R5 n Fausse

Bonnes réflexions !

J'ai compris la réflexivité
Par contre toujours du mal avec cette transitivité.

avec votre contre exemple:
12 R5 7 7 R5 4 12 R5 4
Mais après???

(Si j'ai bien compris R6 n'est pas réflexive,symétrique et antisymétrique)

Effectivement, je pense que tu n'as pas bien compris la transitivité.

12 R5 7 est VRAIE et 7 R5 4 est VRAIE mais 12 R5 4 est FAUSSE

Ce contre exemple permet de conclure que R5 n'est pas transitive.

Comme R5, R6 n'a pas de propriété particulière.

Mais pourquoi les deux premieres sont justes et pas la dernière?

Evidemment, il faut appliquer la définition de R5 .

C'est tout le temps ainsi.

On applique la définition de la relation donnée par l'énoncé!

12 R5 7 est VRAIE car 12 < 2(7) est VRAIE

7 R5 4 est VRAIE car 7 < 2(4) est VRAIE

12 R5 4 est FAUSSE car 12 < 2(4) est FAUSSE

J'ai compris.
Merci beaucoup

Bonne soirée

De rien !

Bonne semaine.