exo sur l'étude d'une fonction



  • voici l'intitulé de lexo:
    Soit f la fonction définie et dérivable sur R par: f(x)=xe^(-2x+1). On appelle (Cf) sa courbe représentative dans un repère du plan.

    1. Etudier la position relative de la courbe (Cf) par rapport à l'axe des abscisses.
    2. Etudier la limite de la fonction f en -inf/
    3. a) Démontrer que la fonction dérivée de f' de f est égale à (1-2x)e^(-2x+1).
      b) Etudiez le signe de f'(x) et en déduire le tableau de variation de la fonction f.

    1- je ne savais pas vraiment comment faire, j'ai pensé à faire une équation en fesant:
    f(x) >= 0 equiv/ xe^(-2x+1) >= 0
    le problème est qu' je narive pas a résoudre l'équation a cause du x dans xe^(-2x+1)

    2- limite en -inf/ :
    lim -2x+1 quand x tend vers -inf/ = - inf/
    lim e^x quand x tend vers - inf/ =0
    donc lim e^(-2x+1) quand x tend vers -inf/ =0

    et lim x quand x tend vers - inf/ = - inf/

    donc lim xe^(-2x+1) quand x tend vers -inf/ =-inf/

    voila mon résultat et je voulais savoir si c'était bon.

    3-a) j'ai commencé comme ça mais je n'arrive pas à trouver le résultat:
    f(x) est le produit de x et de e^(-2x+1)
    On note g(x)=x et h(x)= e^(-2x+1)
    h est de la forme e^u avec u(x)= -2x+1
    h'(x)= u' foi/ e^u avec u'(x) =-2
    h'(x)= -2 foi/ e^(-2x+1)
    g'(x)= 1
    ensuite quand je multiplie h'(x) et g'(x), je n'arrive pas à trouver le résultat demandé.

    pouvez vous me rendre une réponse rapidement car je dois le finir pour demain. merci d'avance
    guillermo



  • Salut,

    1. L'axe des abscisses a pour équation y=0. On te demande donc d'étudier le signe de f(x) - y = f(x). Tu es donc bien parti... Mais fallait remarquer quelque chose dès le départ :
      f(x) = xe2x+1xe^{-2x+1}
      Or ici, il faut remarquer que qqsoit/x, e2x+1e^{-2x+1} > 0
      Donc f(x) a le signe de x.
      Donc ....

    2. Erreur dès la première ligne... fais attention au signe 😉

    3. Normal que tu ne trouves pas le résultat demandé car f(x) est de la forme g(x)*h(x)... or je te rappelle que la dérivée de g(x)*h(x) n'est pas g'(x)*h'(x) mais g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x). Continue le calcul...


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