Triangle - hauteur - cercle inscriptible

Bonjour, bonjour,

J'ai un petit soucis pour résoudre cet excercie :

soit un triangle ABC, je trace deux hauteurs et j'obtiens les droites AH1 et BH2.
Les hauteurs se coupent en H.

Le quadrilatère $C H$ _1 $HCH_2$ est-il inscrit dans un cercle?

Je pense qu'il y a un problème dans l'énoncé et que 'lon doit considérer le qualdrilatère CH1HH2

Comment le démontrer ou le prouver?

Merci pour votre aide,
Delphine

Que sais-tu du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?

Zauctore
Que sais-tu du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?

Que le centre du cercle va passer apr l'intersection des hauteurs. non?

Mais il ne s'agit pas d'un triangle rectangle dans ce cas-ci.

Bien sûr que si

Je te repose ma question : de façon générale, que sais-tu du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?

Rien ....

Voilà qui est surprenant ; en 4e tu as pourtant vu un théorème fort utile :

pour tout triangle rectangle, l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.

Oui maintenant que tu le dis!

Mais ca ne m'aide pas à comprendre comment dire si le quadrilatère est inscrit ou non!
Je ne vois pas par où aller vers la solution

Merci de ton aide!

Que peux-tu dire du triangle $CHH_1$ ?

Il est rectangle tout comme CHH2.
Donc on peut construire autour d'eux deux un cercle circonscrit.

mais .... après?

Compare ces deux cercles : quel est le centre et le rayon de chacun ?

Rq : autour de n'importe quel triangle on peut tracer un cercle circonscrit !

Ici, le fait que les triangles soient "spéciaux" a une forte incidence sur ces cercles !

Ok, OK!

le centre est le même puisqu'il se situe au centre de l'hypoténuse qui est commune.
Il existe donc un cercle circonscrit autour de mon quadrilatère et donc je peux dire que mon quadrilatère est inscrit dans un cercle!
Merci!