Niveau Prépa : Espace vectoriel



  • Bonjours tout le monde.
    j'ai un exo a faire pour les vacances et j'ai du mal...
    Je vous note l'énonce, au cas où quelqu'un pourrait m'aider.

    Soit f : R^3 -> R^3 définie par :
    f(( x ; y ; z))=( 2x+4z ; 3x - 4y + 12 z ; x - 2y +5z )

    Il faut montrer que f est un endomorphisme de R^3
    et déterminer (beta) app/ R tel que Ker (f - (beta)Id) diff/ { ( 0,0,0) }.

    et enfin :
    Soit u = ( -4 ; 3 ; 2 ) , v = ( -4 ; 0 ; 1 ) et w = ( 2 ; 1 ; 0 )
    il faut démontrer que { u, v ,w } est une base de R^3
    et Déterminer l'image par f de u , v et w.

    J'ai vraiment du mal sur les espaces vectoriels de dimension finie...
    Pourriez vous m'aider ? merci



  • Salut 😄

    Pour montrer que f est un endomorphisme, il faut dire que f va de R^3 dans R^3 (ça c'est pour le "endo") et que f est linéaire (ça c'est pour "morphisme")
    Donc il faut prendre (alpha) app/ R et (A,B) app/ R^3 (donc A=(a1,a2,a3) par exemple) et montrer que:
    f((alpha) A + B) = (alpha)f(A) + f(B)

    Pour la question avec le (beta):
    Il semble clair que pour n'importe quel (beta) de R, on aura
    (0,0,0) app/ Ker(f - (beta) Id) (tu peux faire le calcul..)
    Il faut montrer qu'il existe un (beta) tel que (0,0,0) ne soit pas le seul élément de Ker(f-(beta)Id)
    Il faut prendre un vecteur X de Ker(f - (beta) Id) avec X=(x,y,z) et calculer f(X)-(beta)X qui normalement doit être nul.
    On trouve un systéme trois équations, trois inconnues (que je te laisse trouver...)
    On sait déjà que ce système admet (0,0,0) pour solution,
    en revanche si l'on veut qu'il n'admette pas une unique solution il faut que son dé......... soit nul (remplis le blanc toute seule 😉 )
    Ainsi tu trouveras une valeur de (beta) pour laquelle il existe d'autres vecteurs X tels que f(X)- (beta) X=0

    Enfin la dernière question:
    Tu sais déjà que Card(u,v,w)=dim(R^3 )
    tu n'as plus qu'à montrer que le système est lié, cest à dire que:
    qqsoit/ ((alpha),(beta),(gamma)) app/ R^3 :
    (alpha)u+(beta)v+(gamma)w=0 impl/ ((alpha),(beta),(gamma))=(0,0,0)

    Voilà j'espère avoir été assez clair et avoir répondu correctement à tes questions



  • Salut .
    merci poru ta réponse
    je Vais essayer d'appliquer ce que tu m'as expliqué.
    je te donnerais des nouvelles si problèmes 😄


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