dérivé et extremun et minimum

salut!alors j'ai un exrecice qui me demande d'étudier la variation de la fonction
f(x)=(2x+2)/(x^2 +2).Donc j'ai dérivé la fonction et je trouve
[-2(x^2 +4x+4)/(x^2 +2)^2 ].Je sais aussi que la fonction dérivée s'annule en -1- $s q r t$ 3) et en -1+ $s q r t$ 3).J'ai fais le tableau de variation et je trouve que f(x) est décroissante sur [-inf/ ;-1- $s q r t$ 3] union/ [-1+ $s q r t$ 3;+inf/ ]
on me demande alors de toruver les extremun et minimum alors j'ai fais f(-1- $s q r t$ 3) mais je n'arrive pas au bout du calcul.Pouvez vous m'aider svp

*Modif du modérateur : c'est la fonction DERIVEE qui s'annule en ces 2 points. Attention. *

Salut,

euh...j'ai pas trouvé la même dérivée que toi.. quelqu'un me confirme ?

normalement ma dérivé est juste car la prof me l'a confirmée

Tu es sûre que tu as écrit correctement les expressions de tes fonctions ?

Je viens de vérifier graphiquement : ta dérivée est bien fausse !!

moi je trouve [- 2 (2x² + 2x - 2 ) / (x²+2) ²]

kevin59760
moi je trouve [- 2 (2x² + 2x - 2 ) / (x²+2) ²]

Non ! C'est :

f'(x) = - 2 (x² + 2x - 2 ) / (x²+2) ²

ok merci mais après je n'arrive pas a calculer les extremum et minimum.Tu peux m'aider stp

Alors ta fonction s'annule bien en -1 - $s q r t$ 3 et -1 + $s q r t$ 3 et est bien décroissante sur les intervalles que tu as donnés.
Ton tableau de variations doit te permettre en effet de trouver les extrémums et minimums.

Pour calculer f(-1+ $s q r t$ 3), ben tu développes... qu'est ce qui pose problème ?

et bien en faite je fais f(-1- $s q r t$ 3) mais je n'arrive pas au bout du clcul.Tu veux bien le faire avec moi

Indiques nous ton développement mylène, je te mettrais sur la voie...

alors en fait j'ai fais 2*(-1- $s q r t$ 3))+2/(-1- $s q r t$ 3))^2 +2 et je trouve -2 $s q r t$ 3)/6 mais je ne pense pas que c'est ça

mylene
alors en fait j'ai fais 2*(-1- $s q r t$ 3))+2/(-1- $s q r t$ 3))^2 +2 et je trouve -2 $s q r t$ 3)/6 mais je ne pense pas que c'est ça
tu as oublier un truc le dénominateur c'est bien (x² + 2 )² or toi tu as fais (x+2)² non?

mylene, si tu n'es pas sûre, développes ton calcul ici et je te dirais si il y a des erreurs.

2*(-1- $s q r t$ 3))+2/(-1^2 - $s q r t$ 3))^2 +2 =-2-2 $s q r t$ 3)+2/1+3+2
=-2 $s q r t$ 3)/6

Houla !! Non c'est pas ça du tout !!!

f(-1- $s q r t$ 3) = [2*(-1 - $s q r t$ 3) +2 ] / [ (-1 - $s q r t$ 3)² + 2]
= [-2 - 2 $s q r t$ 3 + 2 ] / [.........]

Tu t'es trompée à ce niveau là... Y a une identité remarquable (a+b)² à développer correctement.

ah nan je crois que c'est sur 8 car j'ai oublié le carré nan?

Mylène développe à part le dénominateur : (-1 - $s q r t$ 3)² + 2
Ca ne fait certainement pas 8 !!
Tu te trompes dans le calcul de l'expression au carrée !!

et bien -1 au carré =1 et - $s q r t$ 3) au carré =3 nan?

mylene
et bien -1 au carré =1 et - $s q r t$ 3) au carré =3 nan?

Oui c'est bien ca, donc (-1 - $s q r t$ 3)² c'est égal à combien ?

Au collège tu as appris les identités remarquables. C'est comme les tables de multiplication, faut absolument les connaître car on s'en sert tout le temps.
Ici tu as une expression de la forme (a+b)² avec a = -1 et b = - $s q r t$ 3.
Or (a+b)² c'est égal à combien ?

euh... à -1^2 +2*-1*- $s q r t$ 3)- $s q r t$ 3)

Non c'est pas ca !!!

(a+b)² = ???

a^2 +2ab+b^2

Oui c'est bien ca !! Donc avec les valeurs a et b correspondant à ton cas:

(-1 - $s q r t$ 3)² = ???

-1^2 -2*-1*- $s q r t$ 3)+- $s q r t$ 3)

Pas du tout !!

Je dois m'absenter, je reviens dans quelques minutes.... (dans une heure à peu près)...

Bon alors reprenons !!

On a l'identité remarquable :

(a+b)² = a² + b² + 2ab

Or pour ton cas, a = -1 et b = - $s q r t$ 3

Donc (-1 - $s q r t$ 3)² = ????????

Allez un peu de courage... tu vas y arriver !!

et bien déjà je ne comprends pas cette identité remarquable car je n'ai pas (a+b)^2 mais (a^2 +b)^2 .

a^4 + 2a²b + b²

donc 1^4+2*-1^2 *- $s q r t$ 3)+- $s q r t$ 3)^2

Rolala !!! Mais qu'est ce que vous faites ???

mylene
et bien déjà je ne comprends pas cette identité remarquable car je n'ai pas (a+b)^2 mais (a^2 +b)^2 .

mylene !!! Tu es en train de calculer f(-1 - $s q r t$ 3), ET PAS f**'**(-1 - $s q r t$ 3) !!!! Fais vraiment attention !! Même bourde pour kevin !!!

Je reprends où tu en étais !!!

On te demande de calculer les extrémums et les minimums de f. Pour cela, il faut regarder le tableau de variations que tu as fait, et tu en déduis qu'il te faut calculer la lim de f en -inf/, f(-1 - $s q r t$ 3), f(-1 + $s q r t$ 3), et la limite de f en +inf/.

On était en train de calculer f(-1 - $s q r t$ 3) !!

On avait dit que :

f(-1 - $s q r t$ 3) = [2*(-1 - $s q r t$ 3) +2 ] / [ (-1 - $s q r t$ 3)² + 2]
= [-2 - 2 $s q r t$ 3 + 2 ] / [.........]

Il te faut développer ici le dénominateur [ (-1 - $s q r t$ 3)² + 2].
Or tu remarques qu'il te faut développer (-1 - $s q r t$ 3)² qui est une identité remarquable de la forme (a+b)² avec a = -1 et b = - $s q r t$ 3. Sachant que (a+b)² = a² + b² + 2ab, à quoi est égal dans sa forme développée (-1 - $s q r t$ 3)² ? A quoi est égal dans sa forme développée le dénominateur (-1 - $s q r t$ 3)² + 2 ??

Allez un peu de sérieux, et un peu plus de concentration cette fois-ci... ce n'est purement que du calcul.

Salut tout le monde,

moi j'ai trouvé

(-1- $s q r t$ 3)² + 2 = 2*(3+ $s q r t$ 3) = 6 + 2 $s q r t$ 3

Est-ce cela?

je trouve pareil pour le dénominateur!! maintenant à mylene de finir

Merci tous les deux mais c'était à mylene de répondre. :rolling_eyes:
D'autant plus que ce n'est rien d'autre que du calcul.

Bon bref...

donc effectivement : (-1 - $s q r t$ 3)² = (-1)² + 2*(-1)*(- $s q r t$ 3)² + (- $s q r t$ 3)² = 1 + 2 $s q r t$ 3 + 3 = 4 + 2 $s q r t$ 3

donc le dénominateur (-1 - $s q r t$ 3)² + 2 = 4 + 2 $s q r t$ 3 + 2 = 6 + 2 $s q r t$ 3

Revenons à notre calcul principal :

f(-1 - $s q r t$ 3) = [2*(-1 - $s q r t$ 3) +2 ] / [ (-1 - $s q r t$ 3)² + 2]
= [-2 - 2 $s q r t$ 3 + 2 ] / [ 6 + 2 $s q r t$ 3 ]
= [- 2 $s q r t$ 3] / [ 6 + 2 $s q r t$ 3 ]
= (- $s q r t$ 3) / (3 + $s q r t$ 3)

Or par convension on ne garde pas de racine au dénominateur.
Comment fait-on pour faire disparaître la racine au dénominateur ? Tu as vu ça en classe...

kevin chuchotte : expression conjugée!!!