Équations non linéaires


  • G

    1. discuter suivant les valeurs de α (α>0) le nombre de points d'intersection des courbes d'équations gα(x) = α√x, h(x)=ln(x)
      On pourra étudier fα(x) =α√x - ln(x)

    2. Prendre α=1/2
      Montrer que f(x) = 1/2√x - ln(x) s'annule deux fois sur R+.
      Localiser les racines entre deux entiers consécutifs.

    3. Montrer que chacune des deux itérations suivantes

    • X(n+1) =exp(1/2√xn)
    • X(n+1) =4[ln(xn)]² permet de n'approcher qu'une seule des deux racines
    1. Justifier la convergence ou la divergence des 2 méthodes proposées

  • mtschoon

    BONJOUR ! ! !

    Si tu n'arrives pas à démarrer ton exercice, je te donne une piste,

    fαf_\alphafα est définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+[

    fα(x)=αx−lnxf_\alpha(x)=\alpha\sqrt x-ln xfα(x)=αxlnx

    Après calculs
    fα′(x)=αx−22xf'_\alpha(x)=\frac{\alpha \sqrt x -2}{2x}fα(x)=2xαx2

    x > 0 donc le signe de fα′(x)f'_\alpha(x)fα(x) est donc le signe de αx−2\alpha \sqrt x-2αx2

    Vu que α>0\alpha \gt 0α>0 tu peux diviser par α\alphaα et élever au carré.

    fα′(x)=0f'_\alpha(x)=0fα(x)=0 <=> x=2α\sqrt x=\frac{2}{\alpha}x=α2 <=> x=4α2x=\frac{4}{\alpha^2}x=α24

    Tu calcules fα(4α2)f_\alpha (\frac{4}{\alpha^2})fα(α24) et les limites en 0+ et +∞+\infty+ pour avoir les variations de fαf_\alphafα avec précisions.

    Suivant le cas où fα(4α2)f_\alpha(\frac{4}{\alpha^2})fα(α24) (qui est la valeur minimale) est strictement positive, nulle ou strictement négative, tu auras 0 point d'intersection ou 1 ou 2.

    Regarde cela de près et tiens nous au courant si besoin.


  • G

    @mtschoon
    C'est cool pour la discussion
    C'est 0 points d'intersection Si 2-ln(4/α²)>0 equiv à α>2/e
    1 point si 2-ln(4/α²)=0 équivaut α=2/e
    2 points si 2-ln(4/α²)<0 equiv à 0<α<2/e

    1. pour tout α / 0<α<2/e fα(x) admet 2 points d'intersection avec y=0 comme α=1/2 qui appartient à ]0,2/e[ f(x) s'annule deux fois sur R+
      Encadrement
      f'(x) est négatif sur ]0, 16[ et positif sur ]16, +inf [ et f(16)=2-ln(16)<0
      Il existe donc x1 app à ] 0,16[ et x2 app à ]16,+inf [ / f(x1,x2)=0 .

  • G

    Je trouve 2<x1>3 et 74<x2>75


  • mtschoon

    @gforce

    Tes encadrements sont bons mais ils sont mal écrits

    2<x1<3 et 74<x2<75


  • G

    Comment dois-je les écrire ?


  • G

    Ah c'est bon c'est une erreur de frappe c'est pas du tout comme ça que je voulais les écrire 😁


  • G

    Un soucis au niveau des itérations
    *Pour la première
    Il existe x1 compris entre 2 et 3 tel que f(x1) =0
    J'obtiens x=exp(1/2√x) et je pose p(x)=exp(1/2√x), j'ai bien montré que |p'(x)|<1
    Et ensuite
    Xn+1=exp(1/2√x)
    X0= ? C'est mon souci
    À combien je dois initialiser x0


  • mtschoon

    Je prendrais pour x0x_0x0 une valeur de l'intervalle d'encadrement.

    Regarde ton cours pour la méthode à utiliser.

    Sans calculs, avec le logiciel (gratuit) Siné qua non, j'obtiens une convergence vers 2.04379 (qui n'est bien sûr qu'une valeur approchée)


  • G

    OK merci


  • mtschoon

    @gforce

    De rien !


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