Équations non linéaires

[gforce]

1. discuter suivant les valeurs de α (α>0) le nombre de points d'intersection des courbes d'équations gα(x) = α√x, h(x)=ln(x)
   On pourra étudier fα(x) =α√x - ln(x)

2. Prendre α=1/2
   Montrer que f(x) = 1/2√x - ln(x) s'annule deux fois sur R+.
   Localiser les racines entre deux entiers consécutifs.

3. Montrer que chacune des deux itérations suivantes

• X(n+1) =exp(1/2√xn)
• X(n+1) =4[ln(xn)]² permet de n'approcher qu'une seule des deux racines

4. Justifier la convergence ou la divergence des 2 méthodes proposées

[mtschoon]

BONJOUR ! ! !

Si tu n'arrives pas à démarrer ton exercice, je te donne une piste,

$f_{\alpha }$ est définie sur $]0,+\infty [$

$f_{\alpha }(x)=\alpha \sqrt{x}-lnx$

Après calculs
$f_{\alpha }^{\prime }(x)=\frac{\alpha \sqrt{x}-2}{2x}$

x > 0 donc le signe de $f_{\alpha }^{\prime }(x)$ est donc le signe de $\alpha \sqrt{x}-2$

Vu que $\alpha >0$ tu peux diviser par $\alpha$ et élever au carré.

$f_{\alpha }^{\prime }(x)=0$ <=> $\sqrt{x}=\frac{2}{\alpha }$ <=> $x=\frac{4}{{\alpha }^2}$

Tu calcules $f_{\alpha }(\frac{4}{{\alpha }^2})$ et les limites en 0+ et $+\infty$ pour avoir les variations de $f_{\alpha }$ avec précisions.

Suivant le cas où $f_{\alpha }(\frac{4}{{\alpha }^2})$ (qui est la valeur minimale) est strictement positive, nulle ou strictement négative, tu auras 0 point d'intersection ou 1 ou 2.

Regarde cela de près et tiens nous au courant si besoin.

[gforce]

@mtschoon
C'est cool pour la discussion
C'est 0 points d'intersection Si 2-ln(4/α²)>0 equiv à α>2/e
1 point si 2-ln(4/α²)=0 équivaut α=2/e
2 points si 2-ln(4/α²)<0 equiv à 0<α<2/e

2. pour tout α / 0<α<2/e fα(x) admet 2 points d'intersection avec y=0 comme α=1/2 qui appartient à ]0,2/e[ f(x) s'annule deux fois sur R+
   Encadrement
   f'(x) est négatif sur ]0, 16[ et positif sur ]16, +inf [ et f(16)=2-ln(16)<0
   Il existe donc x1 app à ] 0,16[ et x2 app à ]16,+inf [ / f(x1,x2)=0 .

[gforce]

Je trouve 2<x1>3 et 74<x2>75

[mtschoon]

@gforce

Tes encadrements sont bons mais ils sont mal écrits

2<x1<3 et 74<x2<75

[gforce]

Comment dois-je les écrire ?

[gforce]

Ah c'est bon c'est une erreur de frappe c'est pas du tout comme ça que je voulais les écrire

[gforce]

Un soucis au niveau des itérations
*Pour la première
Il existe x1 compris entre 2 et 3 tel que f(x1) =0
J'obtiens x=exp(1/2√x) et je pose p(x)=exp(1/2√x), j'ai bien montré que |p'(x)|<1
Et ensuite
Xn+1=exp(1/2√x)
X0= ? C'est mon souci
À combien je dois initialiser x0

[mtschoon]

Je prendrais pour $x_0$ une valeur de l'intervalle d'encadrement.

Regarde ton cours pour la méthode à utiliser.

Sans calculs, avec le logiciel (gratuit) Siné qua non, j'obtiens une convergence vers 2.04379 (qui n'est bien sûr qu'une valeur approchée)

[gforce]

OK merci

[mtschoon]

@gforce

De rien !