Vérification du théorème de Tchébychev.

Bonsoir,
J'aimerais bien obtenir un exemple relatif à la vérification du théorème de Tchébychev afin que je puisse avoir une petite idée.

D'avance merci

Bonjour,

Je te proposes un exemple pour vérifier le théorème

Tout d'abord , tu calcules $x‾\overline x$ et $σ\sigma$

Sauf erreur, $x‾≈70\overline x \approx 70$ et $σ≈5\sigma \approx 5$

Vérification du théorème avec l'intervalle I=[60,80]

a) Utilisation du théorème

Tu dois trouver $t = 2$ , $1−1t2=34=751-\frac{1}{t^2}=\frac{3}{4}=75$ %

Le théorème t'indique que la proportion d'observations qui appartiennent à cet intervalle est supérieure à $75$ %

b) Tu calcules la valeur exacte de cette proportion

Principe : si n est l'effectif total et si k est l'effectif des observations contenues dans I, cette proportion est $kn\frac{k}{n}$

c) Conclusion

D'après tes calculs, tu dois pouvoir affirmer de cette proportion $kn\frac{k}{n}$ est bien supérieure à 75%

$\fbox{\frac{k}{n} \ge 1-\frac{1}{t^2}}$

Bons calculs.

Bonsoir Mtschoon,

Ah oui effectivement $kn\frac{k}{n}$ est bien supérieur à t.

$212219\frac{212}{219}$ = 0.968

Merci encore pour ton aide.

Attention.

Ce n'est pas à t que $kn\frac{k}{n}$ doit être supérieur, c'est à $1−1t21-\frac{1}{t^2}$

$kn≈96,8\frac{k}{n} \approx 96,8$ %

$1−1t2=751-\frac{1}{t^2}=75$ %

$96, 8$ % $≥75\ge 75$ %

Donc, on obtient bien

$kn≥1−1t2\frac{k}{n} \ge 1-\frac{1}{t^2}$

C'est ce qu'il fallait vérifier.

Bonsoir Mtschoon,

Merci beaucoup pour tes explications, j'ai compris comment ça marche.

Bonsoir Augustin,

Pour terminer avec le théorème de Tchebychev, maintenant que tu as compris la vérification, je t'indique la démonstration mathématique.
Si elle n'a pas été faite en cours, je ne pense pas que l'on puisse te la demander. C'est seulement pour lecture

Soit $x_1,x_2,x...,x_n$ les n observations de l'ensemble E,
de moyenne $x‾\overline x$ et d'écart-type $σ\sigma$
Soit $I=[x‾−tσ,x‾+tσ]I=[\overline x-t\sigma,\overline x+t\sigma]$
Les k observations contenues dans $I$ sont $x_1,x_2,...,x_k$ ,
Necessarement, $\le n$
On doit étudier $kn\frac{k}{n}$

ETUDE
Pour les (n-k) observations extérieures à $I$ :

$k+1≤i≤nk+1\le i \le n$ , $∣xi−x‾∣>tσ|x_i-\overline x| \gt t\sigma$ donc $(xi−x‾)2>t2σ2(x_i-\overline x)^2 \gt t^2\sigma^2$ (formule **)

Par définition , la variance $σ2\sigma ^2$ vaut : $σ2=1n∑i=1i=n(xi−x‾)2\sigma ^2=\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x)^2$
donc $nσ2=∑i=1i=n(xi−x‾)2n\sigma ^2=\displaystyle \sum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x)^2$
donc $nσ2≥∑i=k+1i=n(xi−x‾)2n\sigma ^2\ge \displaystyle \sum_{i=k+1}^{i=n}(x_i-\overline x)^2$
En conséquence,
$nσ2>(n−k)t2σ2n\sigma ^2 \gt (n-k)t^2\sigma ^2$ (utilisationde la formule **)

En divisant par $σ2\sigma ^2$ : $\gt (n-k)t^2$
En divisant par $t^2$ : $nt2>n−k\frac{n}{t^2} \gt n-k$
En transposant : $\gt n-\frac{n}{t^2}$
En divisant par n : $\fbox{\frac{k}{n}\gt 1-\frac{1}{t^2}}$

CQFD

Bonne lecture !

Une remarque : dans ton contrôle, tu as parlé de la fonction Z : elle est très importante, mais elle n'a rien à voir avec le le théorème de Tchebychev.
Si tu as besoin d'information sur Z, ce que j'ignore, il faudra ouvrir une autre discussion.

Bonsoir Mtschoon,

Je m'excuse pour le retard je ne suis plus revenu sur le forum depuis.
La démonstration mathématique n'a pas encore été vu au cours mais j'en aurais certainement besoin plus tard et donc je garde précieusement tes explications dans mes notes.

Encore 1000 merci.

De rien Augustin !

Bon travail.