Vérification du théorème de Tchébychev.



  • Bonsoir,
    J'aimerais bien obtenir un exemple relatif à la vérification du théorème de Tchébychev afin que je puisse avoir une petite idée.

    D'avance merci


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je te proposes un exemple pour vérifier le théorème

    0_1515512679165_Tchby.jpg

    Tout d'abord , tu calcules x\overline x et σ\sigma

    Sauf erreur, x70\overline x \approx 70 et σ5\sigma \approx 5

    Vérification du théorème avec l'intervalle I=[60,80]

    a) Utilisation du théorème

    Tu dois trouver t=2t=2 , 11t2=34=751-\frac{1}{t^2}=\frac{3}{4}=75%

    Le théorème t'indique que la proportion d'observations qui appartiennent à cet intervalle est supérieure à 7575%

    b) Tu calcules la valeur exacte de cette proportion

    Principe : si n est l'effectif total et si k est l'effectif des observations contenues dans I, cette proportion est kn\frac{k}{n}

    c) Conclusion

    D'après tes calculs, tu dois pouvoir affirmer de cette proportion kn\frac{k}{n} est bien supérieure à 75%

    kn11t2\fbox{\frac{k}{n} \ge 1-\frac{1}{t^2}}

    Bons calculs.



  • Bonsoir Mtschoon,

    Ah oui effectivement kn\frac{k}{n} est bien supérieur à t.

    212219\frac{212}{219} = 0.968

    Merci encore pour ton aide.


  • Modérateurs

    Attention.

    Ce n'est pas à t que kn\frac{k}{n} doit être supérieur, c'est à 11t21-\frac{1}{t^2}

    kn96,8\frac{k}{n} \approx 96,8%

    11t2=751-\frac{1}{t^2}=75%

    96,896,8% 75\ge 75%

    Donc, on obtient bien

    kn11t2\frac{k}{n} \ge 1-\frac{1}{t^2}

    C'est ce qu'il fallait vérifier.



  • Bonsoir Mtschoon,

    Merci beaucoup pour tes explications, j'ai compris comment ça marche. 👍


  • Modérateurs

    Bonsoir Augustin,

    Pour terminer avec le théorème de Tchebychev, maintenant que tu as compris la vérification, je t'indique la démonstration mathématique.
    Si elle n'a pas été faite en cours, je ne pense pas que l'on puisse te la demander. C'est seulement pour lecture

    Soit x1,x2,x...,xnx_1,x_2,x...,x_n les n observations de l'ensemble E,
    de moyenne x\overline x et d'écart-type σ\sigma
    Soit I=[xtσ,x+tσ]I=[\overline x-t\sigma,\overline x+t\sigma]
    Les k observations contenues dans II sont x1,x2,...,xkx_1,x_2,...,x_k,
    Necessarement, knk \le n
    On doit étudier kn\frac{k}{n}

    ETUDE
    Pour les (n-k) observations extérieures à II :

    k+1ink+1\le i \le n , xix>tσ|x_i-\overline x| \gt t\sigma donc (xix)2>t2σ2(x_i-\overline x)^2 \gt t^2\sigma^2 (formule **)

    Par définition , la variance σ2\sigma ^2 vaut : σ2=1ni=1i=n(xix)2\sigma ^2=\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x)^2
    donc nσ2=i=1i=n(xix)2n\sigma ^2=\displaystyle \sum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x)^2
    donc nσ2i=k+1i=n(xix)2n\sigma ^2\ge \displaystyle \sum_{i=k+1}^{i=n}(x_i-\overline x)^2
    En conséquence,
    nσ2>(nk)t2σ2n\sigma ^2 \gt (n-k)t^2\sigma ^2 (utilisationde la formule **)

    En divisant par σ2\sigma ^2 : n>(nk)t2n \gt (n-k)t^2
    En divisant par t2t^2 : nt2>nk\frac{n}{t^2} \gt n-k
    En transposant : k>nnt2k \gt n-\frac{n}{t^2}
    En divisant par n : kn>11t2\fbox{\frac{k}{n}\gt 1-\frac{1}{t^2}}

    CQFD

    Bonne lecture !

    Une remarque : dans ton contrôle, tu as parlé de la fonction Z : elle est très importante, mais elle n'a rien à voir avec le le théorème de Tchebychev.
    Si tu as besoin d'information sur Z, ce que j'ignore, il faudra ouvrir une autre discussion.



  • Bonsoir Mtschoon,

    Je m'excuse pour le retard je ne suis plus revenu sur le forum depuis.
    La démonstration mathématique n'a pas encore été vu au cours mais j'en aurais certainement besoin plus tard et donc je garde précieusement tes explications dans mes notes.

    Encore 1000 merci.


  • Modérateurs

    De rien Augustin !

    Bon travail.


 

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