Relations/Homomorphismes de monoïdes

Bonjour,
Le DS est demain et je n'arrive toujours pas à faire quelques exercices que je trouve très abstrait.

Par exemple:

On définit la fonction s: N -> N qui à tout nombre (écrit en base 10) associe la somme de ses chiffres.
Répondre et justifier: la fct s est-elle:

injective? non
surejective? Oui
bijective? non

Un homomorphisme de monoïde de (N,+) dans (N,+)?
Je n'arrive vraiment pas à maitriser cette notion

b) on définit la relation binaire R sur l'ensemble N par:
x R y si et seulement si $\leq s(y)$
repondre et justifier: la relation R est-elle?

réflexive?
symétrique?
antisymétrique?
transitive?

Je n'arrive pas vu que dans les exercices précedents on pouvait faire des schémas là je ne vois pas comment faire.

Merci pour votre aide

Re-bonsoir,

C'est bon pour ta première question.

Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi que j'appelle * qui est interne dans E , associative et qui a un élément neutre e pour *
N muni de la loi + est bien un monoïde d'élément neutre 0 pour +

f est un homomorphisme de (E,) dans (E,) ssi pour tout x et tout y de E : f(x*y)=f(x)*f(y)

f est un homomorphisme de (N,+) dans (N,+) ssi pour tout x et tout y de N : f(x+y)=f(x)+f(y)

Un exemple pour comprendre : la fonction f définie , pour tout x de N, par f(x)=3x est un homomorphisme de (N,+) dans (N,+)

Preuve :
f(x)=3x
f(y)=3y
f(x+y)=3(x+y)
f(x)+f(y)=3x+3y
or, 3(x+y)=3x+3y
donc f(x+y)=f(x)+f(y)

Re-bonsoir,

Le s correspond à :
s: N -> N

s est donc la somme des chiffres
ça fait un lien avec la question précédente.

En utilisant les propriétés de la relation $≤\le$ , tu dois trouver
réflexive? oui
symétrique? non
antisymétrique? oui
transitive? oui

Je te donne un exemple pour comprendre la relation.

si x=2018 alors s(x)=2+0+1+8=11
si y=924 alors s(y)=9+2+4=15

donc s(x) ≤ s(y), donc x R y

x R y veut dire que la somme des chiffres de x est inférieure ou égale à la somme des chiffres de y.

Lorsque tu as compris , tu analyses les propriétés usuelles.

Je vais regarder ça en détail.

Merci, milles merci Marie-Thérèse pour tout ce que vous faites pour moi.
A bientôt

De rien Dut !

Bon travail.