Relation d'ordre / ordre total

Bonjour dernière question pour ce chapitre de maths.
Vous aurez surement la paix après, j'aurais moins de maths

Je n'arrive pas non plus à démontrer les ordre total et les préordre.
Les démonstrations avec des lettres du style: v= uw -> u=uw
est trop abstrait pour moi le fait d'être dys n'aide sans doute pas.
Par exemple:

Soit A un alphabet quelconque contenant au moins 2 symboles distincts. on définit la relation C sur A* de la façon suivante:

u C v SSI u est un facteur de v

a) démontrer que C est une relation d'ordre
Donc il faut montrer que Réfléxive, transitive, antisymétrique

b) cet ordre est-il un ordre total? pourquoi?

Merci, et désolé pour la charge de travail que je vous donne.

Ne te fais pas de soucis Dut.
Si l'aide que l'on t'apporte ici t'est utile, nous sommes contents !

Une relation de pré-ordre est une relation réflexive et transitive (cela a été vu dans le topic précédent)

Une relation d'ordre est une relation réflexive, transitive et anti-symétrique.
Une relation d'ordre qui peut s'appliquer à tous les éléments de l'ensemble considéré est d'ordre total, sinon elle est d'ordre partiel.

Dans l'exemple que tu donnes, je ne sais pas exactement où se situe ton problème.
Si c'est seulement le b), tu dois répondre que l'ordre est partiel.

Pour le prouver, il suffit de trouver deux mots pour lesquels la relation ne s'applique pas.

Soit A={a,b,...} (l'alphabet contient au moins deux symboles distincts, dit l'énoncé)

Considère les mots aa et bb
aa n'est pas facteur de bb, bb n'est pas facteur de aa
aa C bb est faux
bb C aa est faux

Entre aa et bb , la relation C ne s'applique pas.

L'ordre C est donc seulement un ordre partiel.

Si tu as un souci pour le a), demande .

Merci

Si je comprends bien, on dit que u=aa et v= bb et après c'est juste de l'interprétation.

Par la a) je ne vois pas comment faire car avant on avait un ensemble et il donnait les couples qu'il fallait représenter sous forme de schéma.
Mais là on ne peut pas faire ça. Il ni a surement que la notation qui change mais c'est assez pour me pertuber.

Oui , u=aa et v=bb
u C v est faux et V C u est faux donc ordre partiel.

Quelques pistes rapides pour la question a)

Rappel de la définition : u est facteur de v ssi il existe deux mots x et y tels que v=xuy

exemple pour comprendre:
v=abaabb et u=aab
x vaut ab et y vaut b
u est facteur de v

Notation : J'appelle e le mot vide

Réflexivité
C est réflexive car tout mot u peut s'écrire : u=eue donc u C u

Transitivité
Soit u C v et v C w
Il existe x,y,z,t tels que
v=xuy et w=zv t
En remplaçant v par son expression dans w, on obtient
w=zxuyt donc u C w

Anti-symétrie
(je mets des barres de valeurs absolues pour représenter les longueurs des mots)
Soit u C v et v C u
Nécessairement |u| $≤\le$ |v| et |v| $≤\le$ |u|
donc |u|=|v|
Vu que u est facteur de v et que u et v ont même longueur, forcément u=v

CQFD

Sans pour autant être encore limpide c'est beaucoup, beaucoup moins obscure. ça me demandera surement du temps pour vraiment maitriser la notion. Mais j'ai maintenant tous les éléments pour.
Merci

Tout à fait !

Il faut du temps pour tout assimiler !