intégration somme en passant par les équivalents

Bonjour,

je cherche un équivalent de : $u_n$ = $∑k=1nk2+kekn\sum _{ k=1 }^{ n }{ \sqrt { { k }^{ 2 }+k } } { e }^{ \frac { k }{ n } }$ quand n tend vers infini
On commence l'intégration... à première vue ça n'a pas l'air compliqué, la fin me laisse perplexe

brouillon

Notons: $P_n$ = $∑k=1nkekn=n∑k=1nknekn\sum _{ k=1 }^{ n }{ k{ e }^{ \frac { k }{ n } } } =\quad n\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { k }{ n } } { e }^{ \frac { k }{ n } }$

soit: $P_n$ = $}^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { k }{ n } { e }^{ \frac { k }{ n } } } \right)$

or, $1n∑k=1nknekn⟶\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { k }{ n } } { e }^{ \frac { k }{ n } }\quad \longrightarrow$ $∫01xex\int _{ 0 }^{ 1 }{ x{ e }^{ x } }$

$x↦xexx\mapsto { xe }^{ x }$ est continue sur $[0, 1]$ , par application du th sur les sommes de Riemann , l'intégrale converge ainsi $}_{ n }\longrightarrow 1$

Maintenant j'essaie d'étudier le comportement de ces deux suites
On remarque tout d'abord que la différence $u_n-P_n$ est positive et que cette dernière peut être majorée par une autre somme.

quelque soit $n∈N∗n\in N^*$
puisque $=eknkk2+k+k\sqrt { { k }^{ 2 }+k } { e }^{ \frac { k }{ n } }-k{ e }^{ \frac { k }{ n } }={ e }^{ \frac { k }{ n } }\left( \sqrt { { k }^{ 2 }+k } -k \right) \ \ ={ e }^{ \frac { k }{ n } }\frac { k }{ \sqrt { { k }^{ 2 }+k } +k }$

$⇒0≤1n2∑k=1neknkk2+k+k≤12n2∑k=1nekn≤e.n2n2\Rightarrow \quad 0\le \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { e }^{ \frac { k }{ n } }\frac { k }{ \sqrt { { k }^{ 2 }+k } +k } } \le \frac { 1 }{ 2{ n }^{ 2 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { e }^{ \frac { k }{ n } } } \le \frac { e.n }{ 2{ n }^{ 2 } }$

$⇔\Leftrightarrow$ $0≤1n20\quad \le \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }$ $u_n-P_n)$ $≤e2n\le\frac { e }{ 2n }$

comme : $e2n⟶0\frac { e }{ 2n } \longrightarrow 0$ cela entraîne que $1n2\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }$ $u_n-P_n)$ $⟶0\longrightarrow 0$
A partir de là j'ai l'impression que ça reste insuffisant
Un détail du cours m'échappe certainement, on peut se douter sans faire de calcul que ça diverge. Je n'arrive plus à visualiser la suite ça m'embête ^^

merci pour votre aide

Je pense avoir trouvé
Par somme des limites on obtient:

$Pnn2\frac { { P }_{ n } }{ { n }^{ 2 } }$ + $1n2\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }$ $u_n-P_n)$ $⟶1\longrightarrow 1$

Ce qui permet de conclure $u_n$ $∼∞\underset { \infty }{ \sim }$ $n^2$
C'est plus cohérent!

Bonjour Sophie,

Cela me parait correct.

merci, mtschoon

De rien !

Bon travail.