Probabilité. Estimation de la moyenne d'une population, l'écart-type étant connu.



  • Bonsoir,
    Admettons que nous avons une série de 1000 observations , l'écart-type est de 5 et la moyenne est inconnu. Le nombre au hasard qui a été choisi dans cette série est -20.
    Quelle serait la moyenne selon vous ?

    Franchement je ne vois pas comment on pourrait retrouver la moyenne si on a un millier d'observations et qu'on ne les connait pas ?


  • Modérateurs

    Bonjour Augustin,
    Telle qu'elle est écrite, ce n'est guère possible de répondre à ta question .

    Je vais essayer de faire une re-écriture de l'énoncé pour qu'il ait un sens.
    Evidemment, je ne sais pas si le sens donné est celui que tu cherches, mais je n'en vois pas d'autre ...Il faudra donc que tu approfondisses ton cours pour savoir si cela correspond.

    Je suppose que l'on étudie une population X qui a une distribution normale (courbe en forme de cloche), ce qui est le cas le plus courant.
    On connait l'écart type σ\sigma de cette population (σ\sigma=5) et l'on cherche une estimation (par intervalle de confiance) de la moyenne X\overline X de cette population.

    Pour faire cela, on prélève, au hasard, un échantillon de n observations dans cette population (n=1000n=1000)
    (Plus n est grand, mieux c'est)
    On calcule la moyenne m de ces n observations prises au hasard (m=20m=-20, si j'ai bien lu... )

    La moyenne X\overline X se rapproche d'autant plus de la moyenne m de l'échantillon que la taille de l'échantillon est grand.

    Par théorème (qui se démontre avec les propriétés de la loi normale):

    Avec un intervalle de confiance à environ 68%:
    X[mσn,m+σn]\fbox{\overline X \in [m-\frac{\sigma}{\sqrt n}, m+\frac{\sigma}{\sqrt n}]}

    Avec un intervalle de confiance à environ 95%:
    X[m2σn,m+2σn]\fbox{\overline X \in [m-2\frac{\sigma}{\sqrt n}, m+2\frac{\sigma}{\sqrt n}]}

    Avec un intervalle de confiance à environ 99%:
    X[m3σn,m+3σn]\fbox{\overline X \in [m-3\frac{\sigma}{\sqrt n}, m+3\frac{\sigma}{\sqrt n}]}

    Si tu fais les calculs, à la calculette, avec l'intervalle de confiance à environ 99%, tu dois trouver X[20.474 ,19.525]\overline X \in [-20.474\ , -19.525]

    Regarde si ton cours parle de tout cela, sinon, précise ton énoncé.



  • Bonjour mtschoon;

    Merci pour ton aide effectivement mon exercice porte bien sur l'étude d'une population X comme tu l'as mentionné précédemment.

    Il s'agit en fait d'une question bonus on a pas vraiment abordé ce chapitre mais j'aimerais comme même comprendre.

    Pour m'entrainer un peu voici un autre exercice est-ce que tu pourrais me dire si c'est bon ?
    (n = 1 000 000)
    (écart type = 5)
    (m = - 90)

    Concernant l'intervalle de confiance à environ 68% j'obtiens:
    [-90,005 ; - 89,995]

    Pour l'intervalle de confiance à 95 % j'ai
    [-90,01 ; - 89,99 ]

    Pour l'intervalle de confiance à 99 % j'obtiens
    [ - 90, 015 ; - 89, 985 ]

    Merci encore pour tes explications


  • Modérateurs

    Bonjour Augustin,

    Tes réponses sont toutes bonnes ☺



  • Bonjour Mtschoon,

    Merci pour tes explications et tes corrections.
    Belle journée


  • Modérateurs

    De rien !
    Bonne journée .


 

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