Déterminer si des vecteurs forment une base


  • N

    Bonjour,

    Je n'arrive pas à résoudre cet exercice et je sollicite votre aide ! L'énoncé est le suivant :
    "Dans R^4 on considère les vecteurs suivants :
    v1=(2,0,1,3), v2=(1,1,0,-1), v3=(0,-2,1,5) et v4=(1,-3,2,9)
    Déterminer si ces vecteurs forment une base de R^4."

    Je dois donc montrer que a.v1 + b.v2 + c.v3 + d.v4 = 0
    J'obtiens le système suivant :
    2a + b + d = 0
    b - 2c - 3d = 0
    a + c + 2d = 0
    3a - b + 5c + 9d = 0

    En pivot de Gauss j'obtiens :

    2 1 0 1 l 0
    0 1 -2 -3 l 0
    0 1 -2 -3 l 0
    0 1 -2 -3 l 0

    et je n'arrive pas à conclure.

    Pouvez vous m'aider svp ?

    Je vous remercie d'avance,

    NicoAdins


  • mtschoon

    Bonjour,

    Effectivement, le système est indéterminé.

    Avec le pivot de Gauss, tu as obtenu :
    2a+b+d=0
    b-2c-3d=0

    Tu peux calculer a et b en fonction de c et d
    b=2c+3d
    En substituant dans a, tu obtiens : a=-c-2d

    L'ensemble de solutions du système est l'ensemble des quadruplets ( -c-2d , 2c+3d , c , d ) avec c et d quelconques de R

    Vu que c et d ne valent pas forcement 0, on n'obtient pas uniquement le quadruplet (0,0,0,0).

    Tu peux conclure ces vecteurs ne forment pas une base de R4R^4R4.


  • N

    Merci beaucoup de votre aide mtschoon et de votre rapidité de réponse !


  • mtschoon

    De rien NicoAdins !
    Bon travail.


Se connecter pour répondre