Déterminer si des vecteurs forment une base

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice et je sollicite votre aide ! L'énoncé est le suivant :
"Dans R^4 on considère les vecteurs suivants :
v1=(2,0,1,3), v2=(1,1,0,-1), v3=(0,-2,1,5) et v4=(1,-3,2,9)
Déterminer si ces vecteurs forment une base de R^4."

Je dois donc montrer que a.v1 + b.v2 + c.v3 + d.v4 = 0
J'obtiens le système suivant :
2a + b + d = 0
b - 2c - 3d = 0
a + c + 2d = 0
3a - b + 5c + 9d = 0

En pivot de Gauss j'obtiens :

2 1 0 1 l 0
0 1 -2 -3 l 0
0 1 -2 -3 l 0
0 1 -2 -3 l 0

et je n'arrive pas à conclure.

Pouvez vous m'aider svp ?

Je vous remercie d'avance,

NicoAdins

Bonjour,

Effectivement, le système est indéterminé.

Avec le pivot de Gauss, tu as obtenu :
2a+b+d=0
b-2c-3d=0

Tu peux calculer a et b en fonction de c et d
b=2c+3d
En substituant dans a, tu obtiens : a=-c-2d

L'ensemble de solutions du système est l'ensemble des quadruplets ( -c-2d , 2c+3d , c , d ) avec c et d quelconques de R

Vu que c et d ne valent pas forcement 0, on n'obtient pas uniquement le quadruplet (0,0,0,0).

Tu peux conclure ces vecteurs ne forment pas une base de $R^4$ .

Merci beaucoup de votre aide mtschoon et de votre rapidité de réponse !

De rien NicoAdins !
Bon travail.