sous-espaces vectoriels

Bonjour je réalise un exercice sur les sous espaces vectoriels et j'aurais besoin d'une correction.
Les parties suivantes de R^3 en sont-elles des sous espaces vectoriels? Si oui, le démontrer, donner une base du sous espace en question et indiquer sa dimension. Sinon expliquer pourquoi ce n'est pas un sous espace vectoriel de R^3.

B={(x1,x2,x3) € R^3 | x1^2+ x2^2 + x3^2 <=1};

Réponse:
0€B : 0^2+0^2+0^2 <=1 OUI

Somme: (x1, x2, x3)€ B et (x1',x2',x3')€B => (x1+x1' , x2+x2', x3+x3')€B

si x1^2+x2^2+x3^2<=1
x'1^2+x'2^2+x'3^2<=1
alors 1(x1^2+x'1^2)+1(X^2+x'2^2)+1(x3^2+x'3^2) <=1
Je suis tenter de dire NON

multiplication par scalaire: lambda €R et (x1,x2,x3)€B => (lambda x1, lambda x2, lambda x3)€B
Si x1^2+x2^2+x3^2 <=1 alors lambda x1^2, lambda x2^2, lambda x3^2 <=1

Merci pour votre correction

Bonjour DUT,

Je regarde ta solution,

Exact pour ta première réponse qui est OUI

Pour l'addition, la réponse est bien NON mais il faut le justifier (revoir ta formule qui n'est pas bonne...)
Pour la preuve, un contre-exemple suffit
Je t'en indique un.
$x_1=x_2=x_3=0.5$
$x'_1=x'_2=x'_3=0.4$
Après calculs,
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0.75$ donc convient
$x_1'^2+x_2'^2+x_3'^2=0.48$ donc convient

$x_1+x_1')^2+(x_2+x_2')^2+(x_3+x_3')^2=2.43$ donc ne convient pas.

Pour la multiplication par un réel, la réponse est encore NON, à prouver par un contre exemple (regarde bien la formule)
Je t'en indique un.
$x_1=x_2=x_3=0.5$ convient (déja vu)
$λ=2\lambda=2$
Après calculs,
$(λx1)2+(λx2)2+(λx3)2=3(\lambda x_1)^2+(\lambda x_2)^2+(\lambda x_3)^2=3$ donc ne convient pas.

Conclusion : B n'est donc pas un sous-espace de $R^3$

Une remarque : pour tirer cette conclusion, une réponse NON suffit sans que tu sois obligé de voir les autres propriétés.

Bon travail !

Je déplace ton message en Supérieur car les espaces-vectoriels ne font pas partie du programme de TS

Bonjour Mtschoon,
Merci pour votre réponse.
Je me permet de faire un petit résumé de la solution:
Pour savoir si les parties de R^3 sont des sous espaces vectorielles, il y a 3 points à vérifier: le résultat avec x=0, la somme et pour finir la multiplication par scalaire.
Si un de ces 3 points n'est pas vérifié cela signifie que ça ne sera pas un sous espace vectoriel et que donc il n'est pas nécessaire de vérifier les autres points.
Dans l'exercice les valeurs 0,5 et 0,4 sont arbitraires et valident la condition de départ qui est <=1
Pour la somme 2,43>1 c'est pour cela que la réponse est non.
Je pense avoir compris mais n'hésitez pas à me dire si mon raisonnement est erroné.

Si je peux encore vous demander d'éclaircir un point, dans la consigne il est stipulé "Si oui, le démontrer, donner une base du sous espace en question et indiquer sa dimension." je sais pas que dans ce cas on ne peut rien démontrer car la condition n'est pas respectée mais si c'était le cas comment doit-on procéder pour la base et la dimension?

Merci
Bonne journée

Bonjour Dut,

Je pense que tu as bien compris.

L'énoncé précise "Les parties suivantes de R^3"
Tu ne dois donc pas avoir seulement la partie B.

Je te conseille de travailler l'exercice entier, en demandant aide et/ou correction, si besoin.
Tu verras ainsi des cas où les parties sont des sous-espaces vectoriels.
Je pense que tu comprendras mieux avec des exemples concrets qu'avec une théorie abstraite.
De toute façon, la pratique dépend du type de sous-espaces vectoriels à étudier.

Si tu as des besoins sur l'étude de ces parties, tu peux rester sur ce topic vu qu'il s'agit d'un seul exercice.

Bonjour, pour faire suite au précédent message
D= {(x1, x2, x3) € R^3 | x1+x2=x3=0};
1er point: en prenant x=0 -> 0+0+0=0 OUI

2ème point somme:
x1=x2=x3=0
x1′=x2′=x3′=0
Donc dans ce cas OUI
REMARQUE: cette partie me gène car avec 0 ça marche mais si on prend une valeur >0 ça ne marche pas

3eme point: OUI car quelque soit lambda, lambda *0=0

Malgré le doute qui persiste sur le point 2 je dirais qu'il s'agit bien d'un sous espace

Rebonjour Dut,

Tu as écris "D= {(x1, x2, x3) € R^3 | x1+x2=x3=0"

Il y a peut-être une faute de frappe.
Ne serait-ce pas plutôt $x_1+x_2+x_3=0?$

Merci de vérifier.

Bonjour, oui c'est bien une erreur de ma part, désolé.
D= {(x1, x2, x3) € R^3 | x1+x2+x3=0"
Merci

D'accord.

Pour dire NON, un contre-exemple suffit, mais pour dire OUI, il faut une preuve générale.

Pour l'addition :
$x_1+x_2+x_3=0$ et $x'_1+x'_2+x'_3=0$
Donc :
En ajoutant membre à membre :
$x_1+x_2+x_3)+(x'_1+x'_2+x'_3)=0+0=0$
En supprimant les parenthèses, en déplaçant les termes et en les regroupant, on obtient :
$x_1+x'_1)+(x_2+x'_2)+(x_3+x'_3)=0$
CQFD

Pour la multiplication par un réel $λ\lambda$
$x_1+x_2+x_3=0$
Donc :
$λ(x1+x2+x3)=λ×0=0\lambda( x_1+x_2+x_3)=\lambda\times 0=0$
En distribuant $λ\lambda$ , on obtient :
$(λx1)+(λx2)+(λx3)=0(\lambda x_1)+(\lambda x_2)+(\lambda x_3)=0$
CQFD

D est donc bien un sous-espace vectoriel de $R^3$

Merci Mtschoon c'est bien ce que j'avais sur ma feuille de brouillon. Par contre quand il est demandé une base du sous espace en question et sa dimension, on a déjà repondu à ces questions?

Quelques pistes pour la suite de ta question.

Petit bilan sur les sous-espaces vectoriels de $R^3$ , si tu as besoin

$R^3$ est de dimension 3. Base canonique ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))

Les SEV de $R^3$ sont donc de dimension 3 ou 2 ou 1 ou 0
SEV de dimension 3 : $R^3$ lui-même
SEV de dimension 2 : plan vectoriel
SEV de dimension 1 : droite vectorielle
SEV de dimension 0 : le singleton ((0,0,0))

L'équation cartésienne de D est $x_1+x_2+x_3=0$
Il s'agit donc d'un plan vectoriel car tu dois savoir que l'équation cartésienne de tout plan vectoriel de $R^3$ dans la base canonique est de la forme $Ax_1+Bx_2+Cx_3=0$ avec A,B,C réels non tous nuls.

Ici, A=B=C=1

Donc dim(D)=2

Pour donner une base, il te suffit de choisir deux vecteurs de D non nuls et non colinéaires.
Tu peux ensuite vérifier que ces deux vecteurs forment bien une partie à la fois libre et génératrice de $R^3$

Merci beaucoup Mtschoon j'ai compris.
Pour les vecteurs j'ai choisi :
2 3
0 et 1
1 0

Cela est-il bon?

S'il s'agit bien de (2,0,1) et (3,1,0), cela ne va pas.

Il faut choisir deux vecteurs de D, c'est à dire deux vecteurs satisfaisant à la condition $x_1+x_2+x_3=0$

Bonjour Mtschoon, je vois donc par exemple, (0,0,0) et (-1,1,0) serait juste.
Merci

Bonjour Dut,

Comme je t'ai indiqué, les 2 vecteurs de D à choisir pour former une base de D, doivent être non nuls et non colinéaires.

(0,0,0) ne convient pas car il s'agit du vecteur nul.

Merci Mtschoon j'ai compris mon erreur.
Bonne journée

De rien !

Ce ne sont pas les cas qui manquent pour former une base de D.
Tu peux prendre, par exemple, (2,-1,-1) et (-1,1,0)

J'ignore si tu maîtrises l'usage d'une base.

Pour information, je te mets un lien où cela est expliqué très simplement avec trois exemples pour comprendre.

http://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch11/co/apprendre_ch11_03.html

Pour D , dans la base ( (2,-1,-1) , (-1,1,0) ), tour vecteur $x_1,x_2,x_3)$ de D (vérifiant $x_1+x_2+x_3=0)$ a pour coordonnées $α\alpha$ $β\beta$ vérifiant ;
$(x1,x2,x3)=α(2,−1,−1)+β(−1,1,0)(x_1,x_2,x_3)=\alpha ( 2,-1,-1)+\beta(-1,1,0)$

Bonne journée à toi.

Merci Mtschoon

De rien !

Tu as étudié les parties B et D de ton exercice.
Je suppose que tu n'as pas traité toutes les parties proposées car tu n'a s pas vu de droite vectorielle (dimension 1).
C'est dommage. Cela aurait pu t'aider dans d'autres exercices.

Re-Bonjour Mtschoon,
il n'y avait pourtant que ces 2 parties dans l'exercice proposé

Dommage...

Tu découvriras donc les droites vectorielles dans d'autres exercices !