Développements limités (DL d'un produit)

Bonsoir,
Notre professeur vient de nous envoyer des exercices supplémentaires sur les DL étant donné que ça sera à l'examen.

tan(x) en pi à l'ordre 3
On pose x= pi +y
tan(x)= x + $x33\frac{x^3}{3}$
tan(x)= (pi + y) + $(pi+y)33\frac{(pi+y)^3}{3}$
Après le fait de savoir que tan(PI) change t-il quelque chose?
$e^x ln(x)$ en 2 à l'ordre 2
j'ai la DL de $e^x$ sur le formulaire je m'arrete à l'exposant 2+o(x²)
je pose pour ln: x=2+h pour faire apparaitre une forme présente sur le formulaire.
Après que dois-je faire?

Merci pour vos explications

Bonjour Dut,

Quelques pistes,

1) $x=π+yx=\pi +y$ <=> $y=x−πy=x-\pi$

Lorsque x est voisin de $π\pi$ , y est voisin de 0

Tu peux donc utiliser le DL de tany que tu dois avoir dans ton formulaire.
Au voisinage de y=0, $tany=y+y33+o(y3)tany=y+\frac{y^3}{3}+o(y^3)$

Vu que $y=x−πy=x-\pi$ , on peut écrire :
$tan(x−π)=(x−π)+(x−π)33+o((x−π)3)tan(x-\pi)=(x-\pi)+\frac{(x-\pi)^3}{3}+o((x-\pi)^3)$

Or, $tan(x−π)=tanxtan(x-\pi)=tanx$

d'où la conclusion:

Au voisinage de $x=πx=\pi$
$\fbox{tanx=(x-\pi)+\frac{(x-\pi)^3}{3}+o((x-\pi)^3)}$

2)Tu peux pratiquer comme au 1) en utilisant le formulaire

$x = 2 + y$ <=> $y = x - 2$
Au voisinage de $y = 0$ , $ey=1+y+y22+o(y2)e^y=1+y+\frac{y^2}{2}+o(y^2)$

Vu que $y = x - 2$ , on peut écrire

$ex−2=1+(x−2)+(x−2)22+o(x−2)e^{x-2}=1+(x-2)+\frac{(x-2)^2}{2}+o(x-2)$

Or, $ex−2=ex×e−2e^{x-2}=e^x\times e^{-2}$
$ex×e−2=1+(x−2)+(x−2)22+o(x−2)e^{x}\times e^{-2}=1+(x-2)+\frac{(x-2)^2}{2}+o(x-2)$

En multipliant chaque membre par $e^2$ , on obient le DL cherché :

Au voisinage de $x = 2$
$\fbox{e^x=e^2+e^2(x-2)+\frac{e^2}{2}(x-2)^2+o(x-2)^2}$

Pour $l n x$ , le formulaire ne me semble guère adapté car il te donne le DL de $l n (1 + x)$

Je te conseille la formule de Taylor
$\fbox{f(x)=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2!}(x-2)^2+o(x-2)^2}$
Tu prends f(x)=lnx

Ensuite, lorsque tu as le DL de $l n x$ , tu fais le produit ds deux DL ( en t'arrêtant à l'ordre 2)

Bonsoir,
Merci pour l'explication. Je tente de poursuivre pour la (2).
Je reviendrai par la suite sur la (1) qui semble comprise mais où j'ai quelques points de doutes.

Pour la (2) avec Taylor j'obtiens:
$+\frac{1}{2}(x-2) - \frac{1}{8}(x-2)^2 +o(x-2)^2$
En faisant le produit des 2 DL j'obtiens:
$ln(2)+12(x−2)2+yln(2)+y2(x−2)−y8(x−2)2+y22∗ln(2)+y24(x−2)−y216(x−2)2ln(2)+\frac{1}{2}(x-2)^2 + yln(2)+\frac{y}{2}(x-2) - \frac{y}{8}(x-2)^2 +\frac{y^2}{2}*ln(2)+\frac{y^2}{4}(x-2) - \frac{y^2}{16}(x-2)^2$

Je me doute qu'il y a surement une simplification mais comme toujours je bloque un peu à cette étape. Mais voyons si ça est déjà juste.
De plus faut-il rajouter 'o(x-2)² ' à la fin du produit?

Merci

Oui pour le DL de $l n x$ (bravo!)

Il faut revoir le produit.
Il s'agit des deux DL relatifs à la variable x qui est voisine de 2.
Pour $e^x$ tu ne sembles pas avoir pris ce qu'il faut.

Oui , il faudra indiquer le "reste infiniment petit" o(x-2), mais seulement lorsque tu auras revu le développement.

Pour le produit est ce:
$(1+(x−2)+(x−2)22+o(y2)∗)(1+(x-2)+\frac{(x-2)^2}{2}+o(y^2) *)$ la DL de ln(x) qui vous avez confirmé ?

"y" n' a pas de sens dans le DL vu qu'il s'agit de la variable x : tout est en x
Ne mélange pas x et y car il ne sont pas égaux ( y=x-2)

Je t'ai calculé le DL de $e^x$ dans un message précédent ( il est encadré)
Relis les réponses.

Tu as calculé le DL de $l n x$ (j'ai confirmé)

Il te reste à multiplier ces deux DL

Bonsoir j'ai trouvé comme produit:
$e2ln(2)+e22(x−2)−e28(x−2)2+e2(x−2)ln(2)+e2(x−2)2(x−2)−e2(x−2)8(x−2)2+e22(x−2)2ln(2)+e24(x−2)2−e2(x−2)2(x−2)2e^2ln(2) +\frac{e^2}{2}(x-2)-\frac{e^2}{8}(x-2)^2+e^2(x-2)ln(2) +\frac{e^2 (x-2)}{2}(x-2) -\frac{e^2(x-2)}{8}(x-2)^2 +\frac{e^2}{2}(x-2)^2ln(2) +\frac{e^2}{4}(x-2)^2- \frac{e^2(x-2)}{2}(x-2)^2$

Si cela est juste je simplifie grâce aux puissances c'est ça?

Merci

Pour le produit trouvé, si tu n'as fait aucune simplification, tu aurais dû trouver 9 termes ( vu la longueur, peut-être que tout n'est pas vu...)

Bien sûr, ce n'est pas la peine de tout écrire vu que tu veux un DL à l'ordre 2, donc quand tu trouves des termes en (x-2)(x-2)² ou (x-2)²(x-2)² , tu ne les prends pas.

En bref, il y a 6 termes utiles, que je t'indique
$e2ln2+12e2(x−2)−18(x−2)2+e2(x−2)ln2+12e2(x−2)2+e22ln2(x−2)2e^2ln2+\frac{1}{2}e^2(x-2)-\frac{1}{8}(x-2)^2+e^2(x-2)ln2+\frac{1}{2}e^2(x-2)^2+\frac{e^2}{2}ln2(x-2)^2$

En regroupant les termes le DL demandé est :

$\fbox{e^xlnx=e^2ln2+e^2(x-2)(\frac{1}{2}+2n2)+e^2(x-2)^2(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}ln2)+o(x-2)^2}$

Merci beaucoup Mtschoon. Je vais terminer celui là puis je regarderai d'autres exemples mais ça devrait aller.
Bonne semaine

De rien !
Bonne semaine à toi.