Développements limités (DL d'un produit)


  • D

    Bonsoir,
    Notre professeur vient de nous envoyer des exercices supplémentaires sur les DL étant donné que ça sera à l'examen.

    1. tan(x) en pi à l'ordre 3
      On pose x= pi +y
      tan(x)= x + x33\frac{x^3}{3}3x3
      tan(x)= (pi + y) + (pi+y)33\frac{(pi+y)^3}{3}3(pi+y)3
      Après le fait de savoir que tan(PI) change t-il quelque chose?

    2. exln(x)e^x ln(x)exln(x) en 2 à l'ordre 2
      j'ai la DL de exe^xex sur le formulaire je m'arrete à l'exposant 2+o(x²)
      je pose pour ln: x=2+h pour faire apparaitre une forme présente sur le formulaire.
      Après que dois-je faire?

    Merci pour vos explications


  • mtschoon

    Bonjour Dut,

    Quelques pistes,

    1)x=π+yx=\pi +yx=π+y <=> y=x−πy=x-\piy=xπ

    Lorsque x est voisin de π\piπ, y est voisin de 0

    Tu peux donc utiliser le DL de tany que tu dois avoir dans ton formulaire.
    Au voisinage de y=0, tany=y+y33+o(y3)tany=y+\frac{y^3}{3}+o(y^3)tany=y+3y3+o(y3)

    Vu que y=x−πy=x-\piy=xπ, on peut écrire :
    tan(x−π)=(x−π)+(x−π)33+o((x−π)3)tan(x-\pi)=(x-\pi)+\frac{(x-\pi)^3}{3}+o((x-\pi)^3)tan(xπ)=(xπ)+3(xπ)3+o((xπ)3)

    Or, tan(x−π)=tanxtan(x-\pi)=tanxtan(xπ)=tanx

    d'où la conclusion:

    Au voisinage de x=πx=\pix=π
    $\fbox{tanx=(x-\pi)+\frac{(x-\pi)^3}{3}+o((x-\pi)^3)}$

    2)Tu peux pratiquer comme au 1) en utilisant le formulaire

    x=2+yx=2+yx=2+y <=>y=x−2y=x-2y=x2
    Au voisinage de y=0y=0y=0, ey=1+y+y22+o(y2)e^y=1+y+\frac{y^2}{2}+o(y^2)ey=1+y+2y2+o(y2)

    Vu que y=x−2y=x-2y=x2, on peut écrire

    ex−2=1+(x−2)+(x−2)22+o(x−2)e^{x-2}=1+(x-2)+\frac{(x-2)^2}{2}+o(x-2)ex2=1+(x2)+2(x2)2+o(x2)

    Or, ex−2=ex×e−2e^{x-2}=e^x\times e^{-2}ex2=ex×e2
    ex×e−2=1+(x−2)+(x−2)22+o(x−2)e^{x}\times e^{-2}=1+(x-2)+\frac{(x-2)^2}{2}+o(x-2)ex×e2=1+(x2)+2(x2)2+o(x2)

    En multipliant chaque membre par e2e^2e2, on obient le DL cherché :

    Au voisinage de x=2x=2x=2
    $\fbox{e^x=e^2+e^2(x-2)+\frac{e^2}{2}(x-2)^2+o(x-2)^2}$

    Pour lnxlnxlnx, le formulaire ne me semble guère adapté car il te donne le DL de ln(1+x)ln(1+x)ln(1+x)

    Je te conseille la formule de Taylor
    $\fbox{f(x)=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2!}(x-2)^2+o(x-2)^2}$
    Tu prends f(x)=lnx

    Ensuite, lorsque tu as le DL de lnxlnxlnx, tu fais le produit ds deux DL ( en t'arrêtant à l'ordre 2)


  • D

    Bonsoir,
    Merci pour l'explication. Je tente de poursuivre pour la (2).
    Je reviendrai par la suite sur la (1) qui semble comprise mais où j'ai quelques points de doutes.

    Pour la (2) avec Taylor j'obtiens:
    ln(2)+12(x−2)−18(x−2)2+o(x−2)2ln(2) +\frac{1}{2}(x-2) - \frac{1}{8}(x-2)^2 +o(x-2)^2ln(2)+21(x2)81(x2)2+o(x2)2
    En faisant le produit des 2 DL j'obtiens:
    ln(2)+12(x−2)2+yln(2)+y2(x−2)−y8(x−2)2+y22∗ln(2)+y24(x−2)−y216(x−2)2ln(2)+\frac{1}{2}(x-2)^2 + yln(2)+\frac{y}{2}(x-2) - \frac{y}{8}(x-2)^2 +\frac{y^2}{2}*ln(2)+\frac{y^2}{4}(x-2) - \frac{y^2}{16}(x-2)^2ln(2)+21(x2)2+yln(2)+2y(x2)8y(x2)2+2y2ln(2)+4y2(x2)16y2(x2)2

    Je me doute qu'il y a surement une simplification mais comme toujours je bloque un peu à cette étape. Mais voyons si ça est déjà juste.
    De plus faut-il rajouter 'o(x-2)² ' à la fin du produit?

    Merci


  • mtschoon

    Oui pour le DL de lnxlnxlnx (bravo!)

    Il faut revoir le produit.
    Il s'agit des deux DL relatifs à la variable x qui est voisine de 2.
    Pour exe^xex tu ne sembles pas avoir pris ce qu'il faut.

    Oui , il faudra indiquer le "reste infiniment petit" o(x-2), mais seulement lorsque tu auras revu le développement.


  • D

    Pour le produit est ce:
    (1+(x−2)+(x−2)22+o(y2)∗)(1+(x-2)+\frac{(x-2)^2}{2}+o(y^2) *)(1+(x2)+2(x2)2+o(y2)) la DL de ln(x) qui vous avez confirmé ?


  • mtschoon

    "y" n' a pas de sens dans le DL vu qu'il s'agit de la variable x : tout est en x
    Ne mélange pas x et y car il ne sont pas égaux ( y=x-2)

    Je t'ai calculé le DL de exe^xex dans un message précédent ( il est encadré)
    Relis les réponses.

    Tu as calculé le DL de lnxlnxlnx (j'ai confirmé)

    Il te reste à multiplier ces deux DL


  • D

    Bonsoir j'ai trouvé comme produit:
    e2ln(2)+e22(x−2)−e28(x−2)2+e2(x−2)ln(2)+e2(x−2)2(x−2)−e2(x−2)8(x−2)2+e22(x−2)2ln(2)+e24(x−2)2−e2(x−2)2(x−2)2e^2ln(2) +\frac{e^2}{2}(x-2)-\frac{e^2}{8}(x-2)^2+e^2(x-2)ln(2) +\frac{e^2 (x-2)}{2}(x-2) -\frac{e^2(x-2)}{8}(x-2)^2 +\frac{e^2}{2}(x-2)^2ln(2) +\frac{e^2}{4}(x-2)^2- \frac{e^2(x-2)}{2}(x-2)^2e2ln(2)+2e2(x2)8e2(x2)2+e2(x2)ln(2)+2e2(x2)(x2)8e2(x2)(x2)2+2e2(x2)2ln(2)+4e2(x2)22e2(x2)(x2)2

    Si cela est juste je simplifie grâce aux puissances c'est ça?

    Merci


  • mtschoon

    Pour le produit trouvé, si tu n'as fait aucune simplification, tu aurais dû trouver 9 termes ( vu la longueur, peut-être que tout n'est pas vu...)

    Bien sûr, ce n'est pas la peine de tout écrire vu que tu veux un DL à l'ordre 2, donc quand tu trouves des termes en (x-2)(x-2)² ou (x-2)²(x-2)² , tu ne les prends pas.

    En bref, il y a 6 termes utiles, que je t'indique
    e2ln2+12e2(x−2)−18(x−2)2+e2(x−2)ln2+12e2(x−2)2+e22ln2(x−2)2e^2ln2+\frac{1}{2}e^2(x-2)-\frac{1}{8}(x-2)^2+e^2(x-2)ln2+\frac{1}{2}e^2(x-2)^2+\frac{e^2}{2}ln2(x-2)^2e2ln2+21e2(x2)81(x2)2+e2(x2)ln2+21e2(x2)2+2e2ln2(x2)2

    En regroupant les termes le DL demandé est :

    $\fbox{e^xlnx=e^2ln2+e^2(x-2)(\frac{1}{2}+2n2)+e^2(x-2)^2(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}ln2)+o(x-2)^2}$


  • D

    Merci beaucoup Mtschoon. Je vais terminer celui là puis je regarderai d'autres exemples mais ça devrait aller.
    Bonne semaine


  • mtschoon

    De rien !
    Bonne semaine à toi.


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