loi normale: recherche d'un inconnue

bonsoir ; svp est ce que l'écrit sous dessous est correcte
P(Z< $n×\sqrt n\times$ 0.5)= $n×\sqrt n \times$ P(Z<0.5)

hiba, bonjour,

$\lt \sqrt n 0.5)=\sqrt nP(Z\lt 0.5)$ ?

Si ton but est de "sortir" $n\sqrt n$ de la probabilité P, la méthode n'est pas valable.

Exemple pour n=4 c'est à dire $n=2\sqrt n=2$ , avec Z ayant une loi normale réduite centrée , en utilisant la table :

$P(Z<n0.5)=P(Z<1)=0.8413P(Z\lt \sqrt n0.5)=P(Z\lt 1)=0.8413$
$nP(Z<0.5)=2P(Z<0.5)=2(0.6917)=1.3834\sqrt nP(Z \lt 0.5)=2P(Z \lt 0.5)=2(0.6917)=1.3834$
Il n'y a pas égalité.

@mtschoon d'accord mais comment je peux procéder!!!

Bonsoir hiba,

Mais, quelle est précisément la question à laquelle tu dois répondre ?
Donne l'énoncé entier.

une machine fabrique en grande série des tiges d'acier.la variable aléatoire qui associeà chaque tige sa longueur suit une loi normale de moyenne 90mm et d'écart type 1mm on prélève un échantillon aléatoire de taille n soit X barre la moyenne d'échatillonnnage.quel est la valeur minimale de n pour que X barre soit dans l'intervalle 89.5 , 90.5 avec une probabilite egale a 0.99

Merci pour l'énoncé,

Je te mets des pistes mais il faudra adapter en fonction des notations de ton cours et détailler les calculs.

D'après la loi de moyennes, $X‾\overline X$ suit approximativement la loi normale de moyenne m=90 et d'écart-type $σn=1n\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt n}$

Pose $\fbox{t=\frac{\overline X-90}{\frac{1}{\sqrt n}}}$

t suit une loi normale réduite centrée

Tu cherches
$\lt \overline X \lt 90.5)$

Tu traduis en t ( pour pouvoir te servir de la table de la loi normale réduite centrée)

Après calculs, sauf erreur
$\lt \overline X \lt 90.5)= Pr(-0.5\sqrt n\lt t\lt 0.5\sqrt n)$

Or, $Pr(−0.5n<t<0.5n)=2Φ(0.5n)−1Pr(-0.5\sqrt n\lt t\lt 0.5\sqrt n)= 2\Phi(0.5\sqrt n)-1$ (avec les notations usuelles)

Tu dois donc résoudre : $2Φ(0.5n)−1=0.992\Phi(0.5\sqrt n)-1=0.99$ , c'est à dire
$Φ(0.5n)=0.995\Phi(0.5\sqrt n)=0.995$

Avec la lecture de la table, $Φ(t)=0.995\Phi(t)=0.995$ pour t voisin de 2.5 (fait une approximation pour plus de précision)

Donc : $0.5n≈2.50.5\sqrt n \approx 2.5$ (améliore ce "2.5")

Tu isoles $n\sqrt n$ , puis tu élèves au carré pour avoir n.

La valeur de n que tu trouveras sera la valeur minimale.
(Plus la taille de l'échantillon est grande, mieux c'est)

Bons calculs.

@mtschoon dans le cas où on a la moyenne et l'échantillon comme deux inconnues à trouver pour le meme cas comment je peux procéder est ce que ma méthode est juste : -89+u=90.5-u et donc 2u=179.5=180 DONC u=90 si oui est ce que c 'est toujours valable !!!

Bonjour hiba,

Je suppose que u est la moyenne de la loi normale utilisée et n la taille de l'échantillon.

J'aurais mis -89,5+u=90.5-u <=> u=90

Donc : $u=89.5+90.52=90u=\frac{89.5+90.5}{2}=90$ (formule de la moyenne de deux nombres extrémités de l'intervalle considéré)

En bref, tu as calculé le centre de l'intervalle [89,5 ,90.5] sur lequel on trouve $X‾\overline X$ (barre) avec une probabilité 0.99

En pratique, cela est vrai dans les exercices usuels, pour qu'après changement de variable, on puis utiliser la lecture avec la table de la loi normale réduite centrée.

En théorie, rien ne le prouve, mais en pratique, c'est exact...

@mtschoon merci bcp

De rien !
A+