Injection/surjection/bijection

[dut]

Bonsoir,
Je travaille sur le DS intermédiaire de maths discrètes. Pouvez-vous vérifier mon exercice SVP?

Soit l’alphabet X={a, b, c} et la fonction f: X∗→X∗ définie par f(u) =u.a (X* représente l’ensemble des mots sur
X) La fonction est-elle injective, surjective, bijective?

Injective OUI car l'ensemble d'arrivée possédera toujours au plus 1 antécédent dans df.
Non surjectif tous les elts de l'ensemble d'arrivé ne possède pas au moins 1 antécédent.
Non bijectif l’ensemble d'arrivé ne possède pas exactement 1 antécédent. de plus bijectif =Injectif+surjectif ce qui n'est pas le cas.
ps: j'ai fait des "patatoides" pour répondre aux questions

Merci

[mtschoon]

Bonjour Dut,

Bien sûr, on ignore précisément tes justifications vu que tu ne les donnes pas, mais tes réponses obtenues sont exactes.

[dut]

Bonjour Mtschoon,
Je n'ai pas vraiment de justification j'ai dessiné deux patatoide avec les mots: a , b , c , aa , abc , abbc , bba, ccb puis j'ai tracé les flèches puis j'ai justifié avec les définitions.
Y a t-il une notation un peu plus mathématiques?
Merci

[mtschoon]

La longueur des mots n'est pas précisée dans ton énoncé, donc tu ne peux pas faire un schéma avec tous les mots possibles composés avec l'alphabet X.

Un schéma est une très bonne illustration, mais tu peux le compléter par des explications générales logiques

Pour l'injection :

Soit u et v deux mots distincts de X* (ensemble de départ).
Leurs images respectives par f sont u.a et v.a, donc elles sont forcément distinctes
$u\ne v$ => $u.a\ne v.a$

Pour la non-surjection :

Seuls les éléments de X* se terminant par a (ensemble d'arrivée) peuvent être images des éléments de X* (ensemble de départ), alors que dans X* (ensemble d'arrivée) il y a des mots se terminant par b ou c
Par exemple abccc ne peut être image d'aucun élément de X* (ensemble de départ)

[dut]

Merci Mtschoon

[mtschoon]

De rien Dut et bon week-end.