Théorèmes classiques de l'analyse (Rolle-Accroissements finis)

Re-bonjour,
Nous avons un exercice type de TD qui va tomber à l'examen de jeudi, mais nous ne l'avons pas fait en TD pouvez-vous m'aider.

Calculer la dérivée de x-->(x²+1)sin(x) et en déduire que l'équation (x²+1)cos x +2x sin x=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [o, $π\pi$ ]

Il s'agirait du théorème de Rolle qui dit:
f[a,b]->R telle que: f est continue sur [a,b]; f est dérivable sur ]a,b[ ; f(a)=f(b)
alors il existe c € ]a,b[ tel que f'(c)=0

Montrer que pour tout a et tout b réels, on a |cos a - cos b| <= |b-a|
Il s'agirait dans ce cas du théorème d'accroissement finie qui dit:
Soient (a,b) € R² et f[a;b] -> continue sur [a;b] dérivable sur ]a;b[, alors il existe au moins 1 point c € ]a;b[ f'(c) (b-a) =f(b) -f(a)

Merci il parrait que ce n'est pas très dur mais je ne connais pas la démarche

Bonne journée

Effectivement, il n'y a pas de difficulté particulière , il s'agit de l'application directe des théorèmes.

Piste pour la 1)

Tu calcules la dérivée d'un produit et tu dois trouver que
$f'(x)=(x^2+1)cosx+2xsinx$

Conséquence :Il te suffit d'appliquer directement le Théorème de Rolle sur l'intervalle $[0,π][0,\pi]$

f est définie, dérivable donc continue sur $[0,π][0,\pi]$
$a = 0$ tu calcule $f (0)$ et tu trouves $f (0) = 0$
$b=πb=\pi$ tu calcules $f(π)f(\pi)$ et tu trouves $f(π)=0f(\pi)=0$

Donc,
Il existe au moins une valeur c telle que f'(c)=0
c est donc solution de f'(x)=0, c'est à dire de
$f'(x)=(x^2+1)cosx+2xsinx=0$

Piste pour la 2),

il y a une propriété plus rapide que le théorème des accroissements finis , qui s'appelle "Inégalité des accroissements finis"
Si elle est dans ton cours, tu peux l'utiliser.

Sinon, fais avec le théorème que tu indiques
$f (x) = c o s x$ donc $f^{'} (x) = - s i n x$
Pour tout x , -sinx est compris entre -1 et +1 donc $∣−sinx∣≤1|-sinx|\le 1$ donc $∣f′(x)∣≤1|f'(x)|\le 1$

En appliquant le théorème des accroissements finis :
$c o s b - c o s a = f^{'} (c) (b - a)$

En valeurs absolues : $∣ c o s b - c o s a ∣ = ∣ f^{'} (c) ∣ ∣ b - a ∣$

Vu que $∣f′(c)∣≤1|f'(c)|\le 1$ , on déduit : $∣cosb−cosa∣≤∣b−a∣|cosb-cosa|\le |b-a|$

Merci je vois la démarche

C'est bien !