Relation binaire sur un ensemble



  • Bonjour,
    je retravaille sur les relations binaires sur un ensemble: sujet https://forum.mathforu.com/topic/24115/relations-binaires-sur-un-ensemble/13 de l'année dernière

    Je bloque pour l'instant Sur:
    R6 sur N n R6 p --> 2*n <p

    selon moi le relation n'est pas antisymétrique alors que sur la correction elle l'est.
    J'ai déjà prouvé que la relation n'est pas symétrique.
    mais pour n'importe quelle valeur de n ou p je ne trouve jamais de cas où n = p pouvez-vous m'orienter?



  • Bonjour Dut,

    Une remarque sur le lien que tu indiques.
    Les lignes en rouge proviennent du fait que le "multiligne "( système avec accolade sur 2 lignes) en Latex, n'est toujours pas toléré sur le nouveau forum.
    C'est génant...Je l'ai signalé...désolée !

    Je regarde l'antisymétrie de la relation R6

    Par définition de l'antisymétrie , pour tout n et pour tout p de N, il faudrait que
    n R6 p et p R6 n implique n=p

    J'explicite (sans utiliser d'accolades !)

    n R6 p veut dire que 2n<p2n \lt p
    p R6 n veut dire que 2p<n2p \lt n

    2n<p2n \lt p équivaut à 4n<2p4n \lt 2p (multiplication par 2)

    4n<2p4n \lt 2p et 2p<n2p \lt n implique 4n<n4n \lt n

    4n<n4n \lt n équivaut à 4nn<04n-n \lt 0 c'est à dire 3n<03n \lt 0 c'est à dire n<0n\lt 0

    IMPOSSIBLE dans N

    R6 n'est pas atisymétrique.

    Ta conclusion est bonne.



  • Bonjour Mtschoon et merci pour votre réponse explicative.

    J'ai essayé de reprendre sur un exemple concret qui est :
    Soit A un alphabet quelconque contenant au moins deux symboles
    distincts. On définit la relation [ sur A * de la façon suivante :
    u [ v si et seulement si u est un facteur de v

    1. démontrer que [ est une relation d'ordre sur A*.
    2. Cet ordre est-il un ordre total?

    Pour répondre à ces deux questions je cherche à vérifier la symétrie, la transitivité, la réflexion et l'antisymétrie. Montrer la relation d'ordre ou l'ordre total est trivial après avoir vérifié les conditions.

    Pour commencer je pose l'alphabet A={a,b,c} qui a au moins 2 symboles différents.

    Puis je prends l'exemple a R ab

    facteur de a: 0 lettre= epsilon, 1 lettre=a
    facteur de ab: 0 lettre= epsilon, 1lettre=a,b ; 2 lettres=ab

    réfléxion: oui car le a est présent des 2 cotés et que dans les deux cas c'est un facteur

    Transitive: a R ab R abc
    a R abc OUI a est un facteur de abc

    Symètrie: Oui ab R a , ab est un facteur de a

    Antisymètrie: je dirais non et pour démontrer je dirais qu'ils sont facteurs l'un de l'autre mais a # ab



  • Re-bonjour Dut,

    Baser l'étude des propriétés sur un exemple n'est pas satisfaisant.

    Une propriété est dite VRAIE si et seulement si elle est vraie pour tous les éléments de l'ensemble.
    Une seule exception, c'est à dire un exemple qui dit Non (ce qu'on appelle un "contre exemple") suffit pour que la propriété soit dite FAUSSE.

    u [ v si et seulement si u est un facteur de v c'est à dire, pour faire simple, si et seulement si u est "dans" v (au sens large)

    Réflexivité: OUI , car tout mot u est facteur de lui-même (c'est à dire u est "dans" u)

    Transitivité : OUI
    si u est "dans" v et si v est "dans" w, alors forcément u est "dans" w

    Symétrie : NON
    si u est "dans" v, alors v n'est pas forcément "dans" u
    contre exemple :
    le mot a est "dans" le mot ab, mais le mot ab n'est pas "dans" le mot a

    Anti-symétrie : OUI
    Si u est "dans" v et si v est "dans" u, nécessairement u=v

    Bonnes réflexions.



  • Bonjour Mtschoon, merci beaucoup je pensais que ça serait plus facile cette année mais même en connaissant les définitions j'ai beaucoup de mal. Je travaille encore dessus.
    Passez de bonnes fêtes.



  • Bon travail Dut et bonnes fêtes à toi !☺


 

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