Problème de proba sur un jeu de cartes


  • VieuxCrouton

    Bonjour
    On m'a soumis un problème de proba que je n'arrive pas à résoudre malgré près d'une semaine d'efforts. Voici l'énoncé :

    On dispose d’un paquet de 2 n cartes et d’une table de jeu sur laquelle on a dessiné n emplacements, numérotés de 1 à n. Les cartes sont également numérotées de 1 à n et chaque carte existe en deux couleurs.

    L’expérience qu’on envisage de réaliser est la suivante :
    Mélanger le paquet de cartes puis placer les cartes l’une après l’autre sur la table. La première carte tirée sera posée dans l’emplacement 1, puis la seconde dans l’emplacement 2, etc … lorsqu'on arrivera à l'emplacement n on repartira de l'emplacement 1. A la fin de la distribution chaque emplacement contiendra donc 2 cartes.

    Question : Quelle est la probabilité pour que, à l'issue de l'expérience, au moins une cartes soit bien placée, c'est à dire soit posée dans un emplacement portant le même numéro qu'elle ?

    Merci pour votre aide et ... bon courage !

    Pour ceux que ça intéresse j'ai trouvé la solution dans le cas où il n'y a qu'une couleur (n cartes et n emplacements) et c'est déjà pas simple.

    Pierre


  • S

    Juste une piste de réflexion, car je n'ai pas eu le temps de procéder aux calculs nécessaires.

    1. Je ne calculerai pas cette probabilité directement, mais plutôt celle de l'évènement complémentaire: quelle est la probabilité qu'au terme de l'expérience, aucune carte ne soit bien placée ? La proba que tu recherches vaudrait alors 1 - proba trouvée.
    2. Quant aux calculs des nombres de cas favorables/possibles, je m'orienterai vers une formule d'arrangements avec répétition.
    3. Afin d'apprécier la validité de ta solution, je te suggérerai de commencer par traiter un cas avec n=2 ou n=3. Ce sera assez facile de généraliser ensuite.

    Dis-moi si ceci t'aide ?

    RS


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