Les fonctions/injective, surjective

Re bonsoir,
je ne comprends pas vraiment l'énoncé suivant:

Soit X l'ensemble des mots sur l'alphabet {0,1,.....,9} et Y l'ensemble des nombres réels dans l'intervalle [0,1[. Pour chaque mot non vide u=x1x2...xn on note f(u) le nombre réél f(u)=0,x1x2...xn et on note f(epsilon)=0
a) Est ce que f est une fonction de X vers Y? si oui, est-elle injective? est-elle surjective?

b) Est-il vrai que u<=lex v si et seulement si f(u)<=f(v) (ici <= lex désigne l'ordre lexicographique et <= l'ordre habituel sur R)

Pour le a) si je fais un rond avec les éléments de X (epsi, 0..9, 11, 99, 34......) vers les élts de Y (intervalle [0,1[, la valeur 9 de X ne saura pas associée à un élt de Y? J'ai fais tous les dessins qui vont biens mais ce que je trouve en résultat et différent de la correction ce qui me fait penser que je n'ai pas vraiment compris l'énoncé

Merci

Bonjour Dut,

a)
Des exemples pour bien comprendre l'énoncé
le mot "0564" est associé au nombre 0.0564 qui est dans [0,1[
le mot "756155" est associé au nombre 0.756155 qui est dans [0,1[
etc
le mot $ϵ\epsilon$ est associé au nombre 0 qui est dans [0,1[

Je ne comprend pas ton souci relatif à 9
Le mot "9" de l'alphabet X est associé au nombre 0.9 qui est dans [0,1[
De façon générale, si tu prends les mots "99", "999", "9999",etc, ils sont associés respectivement aux nombres 0.99, .999,0.9999, etc, qui sont dans [0,1[

f est bien une fonction de X vers Y vu que tout mot de X a une image dans Y

Pour étudier les propriétés (injectivité, surjectivité) :

On prend un élément de [0,1[ et on cherche ses antécédents éventuels.

Premier cas : considérons tout élément non nul de [0,1[ , c'est à dire un élément de ]0,1[
il s'écrit $0.x_1x_2...x_n$ (les décimales $x_1 x_2...x_n$ n'étant pas toutes nulles).
il est l'image du mot unique " $x_1x_2..x_n$ " de X
Des exemples pour comprendre
0.1058 a pour antécédent le mot "1058"
0.564877 a pour antécédent le mot "564877"

Deuxième cas : considérons l'élément nul 0 de [0,1[
C'est le cas ambigu
0 a un antécédent qui est $ϵ\epsilon$ .
Mais, tous les mots de X composés exclusivement de zéros ont aussi pour image 0
Des exemples pour comprendre
le mot "0" a pour image 0.0 qui vaut 0
le mot "00" a pour image 0.00 qui vaut 0
le mot "000" a pour image 0.000 qui vaut 0
etc
Donc le 0 de Y a une infinité d'antécédents qui sont $ϵ\epsilon$ et tous les mots de X composés exclusivement de 0

Donc f est surjective mais elle n'est pas injective.

b) L'ordre lexicographique des mots de X correspond bien à l'ordre habitude des réels de Y

Merci beaucoup Mtschoon, je n'avais pas compris l'énoncé. Après avoir lu l'explication de l'énoncé (sans regarder le détail des réponses pour a et b) j'ai pu répondre aux questions sans problèmes et vérifier avec vos explications.

Vu que maintenant tout est clair pour toi sur cet énoncé, tout est bien !