Relation d'ordre / itérée


  • D

    Bonjour, comme je vous le disais il y a quelques jours j'ai des problèmes sur les relations.
    J'ai sélectionné un exercice que j'ai pu faire en partie.

    On note C={0,1,2....,9}, l'ensemble des chiffres en base 10. On considère l'écriture de ces chiffres dans un afficheur à diodes électro-luminescentes(LED) comme ceci:
    0_1545995351122_index.jpg

    On définit une relation binaire R sur C en posant c1 R c2 si et seulement si c1 est "inclus" dans c2, au sens où tout segment allumé pour afficher c1 est aussi allumé pour afficher c2.

    J'ai pu dessiner le graphe de la relation R.

    Après il faut montrer que c'est une relation d'ordre sur l'ensemble {0...9} et dire c'est un ordre total;

    j'ai bien vu quelle est réfléxive et transitive par contre j'ai un doute pour l'antisymetrie.

    Prenons par exemple c1= 1 et c2=7 c1 est bien inclus dans c2 mais c2 n'est pas inclus dans c1
    Alors que pour que se soit antisym il faut avoir C1 R C2 et C2 R C1 que c1 soit inclus dans c2 et inversement c2 inclus dans c1.

    Enfin dernière question: quand il est demandé la matrice associée à la relation itérée R2
    --> je prends la matrice R et je fais le produit R*R pour obtenir r²?

    Merci beaucoup


  • mtschoon

    Bonjour Dut,

    Pour ta question sur la relation d'ordre :
    il faut que tu revois la définition d'antisymétrie...( tu confonds avec la symétrie)

    Pour ta seconde question :
    la composition de relations correspond au produit de matrices.
    La relation réitérée veut dire R o R , notée R²
    En appelant M la matrice de R, tu dois donc faire M xM c'est à dire M².
    Ta seconde idée est bonne.


  • mtschoon

    Rebonr Dut,

    J'espère que tu as eu le temps de revoir la définition d'antisymétrie :
    C1RC2C_1 R C_2C1RC2 et C2RC1C_2 R C_1C2RC1 => C1=C2C_1=C_2C1=C2
    Tu peux vérifier que cette propriété est vraie

    R est donc réflexive, antisymétrique et transitive c'est une relation d'ordre.

    L'ordre n'est pas total
    Par exemple : 1 R 2 est faux et 2 R 1 est faux

    Bon travail.


  • D

    Bonsoir Mtschoon,
    tout en ayant les définitions à côté de moi, je n'arrive pas à dissocier la symétrie de l'antisymétrie. Prenons 1 R 5 et 5 R 1, dans ce cas 1 n'est pas égal à 5? vu que j'ai donné un peu plus haut (par confusion) la définition de la symétrie on voit bien avec les exemples que 1 n'est pas inclus dans 5 donc la relation n'est pas symétrique, j'espère ne pas dire de bêtises. Mais dans le cas de l'antisymétrie c1=c2 ce = représente bien l'inclusion aussi qui est dans la consigne pour expliquer la relation?


  • mtschoon

    La symétrie traduit le fait que C1RC2C_1 R C_2C1RC2 => C2RC1C_2 R C_1C2RC1
    Ici, la relation R n'est pas symétrique
    Par exemple : 1R41 R 41R4 est vraie alors que 4R14 R 14R1 est fausse

    Pour l'antisymétrie, tu cherches dans quels cas , C1RC2C_1 R C_2C1RC2 et C2RC1C_2 R C_1C2RC1 sont TOUS les DEUX vraies.
    Si tu trouves que cela ne se produit que lorsque C1=C2C_1=C_2C1=C2 , tu peux déduire que la relation R est antisymétrique.
    Ici, la relation R est antisymétrique


  • D

    Bonjour Mtschoon, je crois que ce qui me perturbe est le = de l'antisymetrie. J'ai fait un schéma simplifié ou on enlève la réflexivité etc afin d'avoir un schéma plus lisible
    0_1546164413131_Screenshot_20181230-110609__01.jpg

    Pour moi si on dit C1=C2 cela signifie que c'est le même chiffre.


  • mtschoon

    Tout à fait !

    C1=C2 veut dire que C1 et C2 sont "le même chiffre".

    Ici, c'est seulement lorsque C1 et C2 sont "le même chiffre" que l'on peut avoir vraies en même temps C1 R C2 et C2 R C1

    Si C1 et C2 ne sont pas "le même chiffre" on a jamais à la fois C1 R C2 et C2 R C1 vraies en même temps.


  • D

    D'accord c'est plus clair. Merci beaucoup


  • mtschoon

    Pour (peut-être) t'éclairer sur l'antisymétrie , je te mets un lien qui me semble intéressant :
    http://gilles.dubois10.free.fr/Bases/Relations/antisymetrie.html
    Bonne réflexion.


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