partie entiere et egalité

bonjour

merci de m'aider dans l'exo suivant ;

Soit a, b, c ∈ R. On suppose que pour tout n ∈ N∗, E(na) + E(nb) = E(nc). Montrer que a + b = c.

bonne journée

Bonsoir,
En prenant un exemple :
a = 0,2 b = 1,2 c = 1,3
n = 2
L’equationen partie entière donne 0+2=2
alors que 0.2+1.2=1.4

Bonjour et bonne année

merci pour votre intérvention
si je comprends bien, tu as voulu donner un contre exemple pour conclure que le résultat qu'on veut démontrer est faux.
mais ce n'est pas un contre exemple, puisque il y a un "pour tout n.." et pas "il existe un n ..".

Désolé parce que je n'ai pas écrit l'expression en Latex pour la rendre plus claire pour vous

bonne journée

Alpha bonjour,

Ce n'est pas trop tard pour te souhaiter une bonne année, donc "Bonne année Alpha"

Je regarde ta question qui ne m'inspire guère !

Effectivement, Loumimi a mal interprété l'énoncé.

Je te propose une idée "particulière", si tu n'en as pas d'autre...

Prouver tout d'abord que pour tout x réel et tout y réel
E(x)+E(y)-E(x+y)=0 ou -1
(avec la définition de partie entière, ça se fait.)

Donc ;
E(na)+E(nb)-E(na+nb)=0 ou E(na)+E(nb)-E(na+nb)=-1

1er cas : E(na)+E(nb)-E(na+nb)=0
Vu l'hypothèse :
E(nc)-E(na+nb)=0
donc
$\le 1$ (j’ai pris l’inégalité au sens large pour faire le passage à la limite; ce n'est pas faux vu que "<" a pour conséquence " $≤\le$ ", la réciproque n'est pas vraie bien sûr).

$∣c−(a+b)∣≤1n|c-(a+b)|\le \dfrac{1}{n}$

Vu que cette propriété est vraie pour tout n de N*, par passage à la limite lorsque n tend vers $+∞+\infty$ , c'est à dire lorsque $1n\dfrac{1}{n}$ tend vers 0, on obtient ainsi
$c = (a + b) = 0$ d'où $c = a + b$

Si cette idée te convient, il te reste à faire le 2ème cas (sur le même principe)
E(na)+E(nb)-E(na+nb)=-1

Bon travail.

Merci bcps

De rien Alpha et bon travail.