partie entiere et egalité


  • A

    bonjour

    merci de m'aider dans l'exo suivant ;

    Soit a, b, c ∈ R. On suppose que pour tout n ∈ N∗, E(na) + E(nb) = E(nc). Montrer que a + b = c.

    bonne journée


  • L

    Bonsoir,
    En prenant un exemple :
    a = 0,2 b = 1,2 c = 1,3
    n = 2
    L’equationen partie entière donne 0+2=2
    alors que 0.2+1.2=1.4


  • A

    Bonjour et bonne année

    merci pour votre intérvention ☺
    si je comprends bien, tu as voulu donner un contre exemple pour conclure que le résultat qu'on veut démontrer est faux.
    mais ce n'est pas un contre exemple, puisque il y a un "pour tout n.." et pas "il existe un n ..".

    Désolé parce que je n'ai pas écrit l'expression en Latex pour la rendre plus claire pour vous☹

    bonne journée


  • mtschoon

    Alpha bonjour,

    Ce n'est pas trop tard pour te souhaiter une bonne année, donc "Bonne année Alpha"

    Je regarde ta question qui ne m'inspire guère !

    Effectivement, Loumimi a mal interprété l'énoncé.

    Je te propose une idée "particulière", si tu n'en as pas d'autre...

    Prouver tout d'abord que pour tout x réel et tout y réel
    E(x)+E(y)-E(x+y)=0 ou -1
    (avec la définition de partie entière, ça se fait.)

    Donc ;
    E(na)+E(nb)-E(na+nb)=0 ou E(na)+E(nb)-E(na+nb)=-1

    1er cas : E(na)+E(nb)-E(na+nb)=0
    Vu l'hypothèse :
    E(nc)-E(na+nb)=0
    donc
    ∣nc−(na+nb)∣≤1|nc-(na+nb)| \le 1nc(na+nb)1 (j’ai pris l’inégalité au sens large pour faire le passage à la limite; ce n'est pas faux vu que "<" a pour conséquence "≤\le", la réciproque n'est pas vraie bien sûr).

    ∣c−(a+b)∣≤1n|c-(a+b)|\le \dfrac{1}{n}c(a+b)n1

    Vu que cette propriété est vraie pour tout n de N*, par passage à la limite lorsque n tend vers +∞+\infty+, c'est à dire lorsque 1n\dfrac{1}{n}n1 tend vers 0, on obtient ainsi
    c=(a+b)=0c=(a+b)=0c=(a+b)=0 d'où c=a+bc=a+bc=a+b

    Si cette idée te convient, il te reste à faire le 2ème cas (sur le même principe)
    E(na)+E(nb)-E(na+nb)=-1

    Bon travail.


  • A

    Merci bcps


  • mtschoon

    De rien Alpha et bon travail.


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