3. Barycentres et repère

Barycentres et repère

  • S

    Bonjour

    J'ai un exercice en vue d'un examen que j'ai du mal à résoudre.
    C'est sur les barycentres. Voici l'enoncé :
    On note E= R^2 le plan affine réel. Soient A,B,C,A', B', C' six points distincts de E tel que les droites (AB), ( A'B') et (CC') (resp( AC) et (A' C') resp (BC) et (B'C') ) se coupent en un point P (resp Q resp R) de E.

    On suppose que les droites (AA') , (BB') et (CC') sont concourantes en O.

    Figure que j'ai fait

    1. Montrer qu'il existe des réels a, b, c tq O=Bar((A,a),(A',1-a))= Bar ((B,b), B',1-b))=Bar((C,c),(C',c'))

    2. montrer que les a, b et c sont différents l'un de l'autre.

    Voilà pour la 1ère question j'ai mis que comme les droites AA', BB', CC' se coupent en O. On a O qui appartient a (AA') donc est un barycentre de A et A' tq
    aOA+ beta OA' = 0 ( avec des vecteurs ) or a +beta = 1 donc beta = 1-a
    J'ai fait de même avec les autres droites.

    Pour la 2ème j'ai du mal à montrer que O n'est pas l'isobarycentre de A,B et C et que du coup les a, b , c sont différents.

    J'aimerais beaucoup que vous m'aidiez à y voir plus clair s'il vous plait.

    Merci.
    Cordialement.

  • mtschoon

    Bonjour sofia100 ,

    Peut-être as -tu fait des fautes de frappe mais je reste perplexe sur certaines écritures.

    Tu as écrit : " les droites (AB), ( A'B') et (CC') (resp( AC) et (A' C') resp (BC) et (B'C') ) se coupent en un point P (resp Q resp R) de E."
    Il y a vraiment (CC') ?

    Tu as écrit : " O=Bar((A,a),(A',1-a))= Bar ((B,b), B',1-b))=Bar((C,c),(C',c'))
    Il y a vraiment c' ? je penserais plutôt 1-c

    Une remarque lorsque tu écris " or a +beta = 1"
    Je trouve ce "or" ambigu.
    Je dirais plutôt : a+β≠0a+\beta \ne 0a+β​=0 donc on peut prendre, en particulier, a+β=1a+\beta=1a+β=1

    Une piste éventuelle pour la 2)

    Raisonnement par l'absurde.
    Supposons a=b
    aOA→+(1−a)OA′→=0→a\overrightarrow{OA}+(1-a)\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{0}aOA+(1−a)OA′=0
    aOB→+(1−a)OB′→=0→a\overrightarrow{OB}+(1-a)\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{0}aOB+(1−a)OB′=0

    En retranchant membre à membre:
    a(OB→−OA→)+(1−a)(OB′→−OA′→)=0→a(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+(1-a)(\overrightarrow{OB'}-\overrightarrow{OA'})=\overrightarrow{0}a(OB−OA)+(1−a)(OB′−OA′)=0
    aAB→+(1−a)A′B′→=0→a\overrightarrow{AB}+(1-a)\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{0}aAB+(1−a)A′B′=0
    Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}AB et A′B′→\overrightarrow{A'B'}A′B′ sont colinéaires.
    Les droites (AB) et (A'B') sont parallèles
    Si elles ont confondues, P est indéterminé
    Si elles sont distinctes, P est inexistant.

    Le point P n'est donc pas défini.

    Même idée pour a=c ou b=c.

    Bon travail et bonne préparation à ton examen !

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