Endomorphisme, ker et image
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AAlpha dernière édition par
Bonjour
merci de m'aider svp pour montrer l'equivalence suivante :
f désigne un endomorphisme de E.
E = Ker f + Im f ⇔ Im f = Im f ∘ f
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour Alpha,
Une idée possible (il doit y avoir d’autres)
Démontrer séparément => et < =
Pour simplifier l’écriture , je note fof=f²
- Hypothèse : $\fbox{Imf=Imf^2}$
Soit x∈Ex\in Ex∈E
On peux essayer de montrer que tout élément x de E est la somme d’un élément de Kerf et d’un élément de Imf (d’où la conclusion E=Kerf +Imf)f(x)∈Imff(x) \in Imff(x)∈Imf donc f(x)∈Imf2f(x) \in Imf^2f(x)∈Imf2 (vu l'hypothèse) donc il existe une valeur y de E telle que f(x)=f2(y)f(x)=f^2(y)f(x)=f2(y)
x peut s’écrire : [x−f(y)]+f(y)[x-f(y)]+f(y)[x−f(y)]+f(y)
Vu que f est linéaire : f[x−f(y)]=f(x)−f2(y)=0f[x-f(y)]=f(x)-f^2(y)=0f[x−f(y)]=f(x)−f2(y)=0 donc [x−f(y)]∈Kerf[x-f(y)]\in Ker f[x−f(y)]∈Kerf
Or, f(y)∈Imff(y)\in Im ff(y)∈Imf
Donc x est la somme d’un élément de Kerf avec un élément de Imf , d’où la réponse souhaitée.
- Hypothèse E=Kerf+Imf\fbox{E=Kerf+Imf}E=Kerf+Imf
Soit x∈Imfx\in Imfx∈Imf donc il existe une valeur y de E telle que x=f(y)x=f(y)x=f(y)
Vu que E=Kerf+ImfE=Kerf +ImfE=Kerf+Imf, y peut s’écrire y=a+by=a+by=a+b avec a∈Kerfa\in Kerfa∈Kerf et b∈Imfb\in Imfb∈Imf
Vu que f est linéaire x=f(y)=f(a)+f(b)x=f(y)=f(a)+f(b)x=f(y)=f(a)+f(b)
vu que a dans le noyau de f, f(a)=0f(a)=0f(a)=0
vu que b est dans l’image de f, il existe une valeur c de E telle que b=f(c)b=f(c)b=f(c)
donc x=f(y)=0+f(f(c))=f2(c)x=f(y)=0+f(f(c))=f^2(c)x=f(y)=0+f(f(c))=f2(c) donc x∈Imf2x \in Imf^2x∈Imf2on peut déduire que Imf⊂Imf2Imf \subset Imf^2Imf⊂Imf2
Il te reste à justifier que Imf2⊂ImfImf^2\subset Im fImf2⊂Imf (ça doit se faire facilement) et tu obtiendras Imf2=ImfImf^2=ImfImf2=Imf
Voila des pistes possibles (à vérifier)
Il y a peut-être plus élégant comme démonstration mais c’est la première idée que j’ai eu ...
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AAlpha dernière édition par
merci beaucoups
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mtschoon dernière édition par
De rien Alpha et bonne semaine !