integrale d'une fonction convexe

Bonjour

pouvez vous m'aider svp en ceci :

Soit f : $[1,$ $∞[\infty[$ → $R$ convexe de classe $C^1$ . Soit n ⩾2 .
Etablir : $∫1n\int_{1}^{n}$ f ⩽ $12\frac{1}{2}$ f(1) + f(2) + ... + f(n − 1) + $12\frac{1}{2}$ f(n)

merci d'avance
bonne journée

Alpha bonjour,

Je te mets quelques pistes possibles, mais tout n'est pas explicité.
Il faudra faire tous les calculs.

Idée :
i) Commencer par prouver une inégalité valable sur tout intervalle [a,b] de [1,+ $∞\infty$ [ en utilisant la convexité.
ii) Appliquer l'inégalité trouvée aux intervalles [1,2],[2,3),...,[n-1,n] et ajouter membre à membre.

Piste pour i)
Soit A(a,f(a)) et B(b,f(b))
L'équation du segment [AB] peut s'écrire :
$y=f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)y=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$
Vu que f est convexe, la représentation graphique de f est au-dessous de [AB]
donc, pour tout x de [a,b],
$f(x)≤f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)f(x)\le \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$
En intégrant entre a et b, après calculs, on obtient (sauf erreur)
$∫abf(x)dx≤f(b)−f(a)b−a×(b−a)22+f(a)(b−a)\displaystyle \int_a^b f(x)dx\le \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \times \dfrac{(b-a)^2}{2}+f(a)(b-a)$
En simplifiant :
$\fbox{\displaystyle \int_a^b f(x)dx\le(b-a) \dfrac{f(a)+f(b)}{2}}$ (***)

Piste pour ii)
En appliquant (***)
$∫12f(x)dx≤f(1)+f(2)2\displaystyle \int_1^2 f(x)dx\le \dfrac{f(1)+f(2)}{2}$
$∫23f(x)dx≤f(2)+f(3)2\displaystyle \int_2^3 f(x)dx\le \dfrac{f(2)+f(3)}{2}$
...
$∫n−1nf(x)dx≤f(n−1)+f(n)2\displaystyle \int_{n-1}^n f(x)dx\le \dfrac{f(n-1)+f(n)}{2}$

D'où (en sommant et en simplifiant)
$\fbox{\displaystyle \int_1^n f(x)dx\le \dfrac{f(1)}{2}+f(2)+...+f(n-1)+\dfrac{f(n)}{2}}$

Bons calculs !

Bonjour Mtschoon :

Merci beaucoups,
C'est compris

Bonne journée

De rien, Alpha.
Si tes calculs ont bien fonctionné, c'est parfait.
Bon week-end à toi.

Oui ca fonctionne bien

Merci infiniment

Bon weekend