integrale d'une fonction convexe


  • A

    Bonjour

    pouvez vous m'aider svp en ceci :

    Soit f : [1,[1,[1, ∞[\infty[[RRR convexe de classe C1C^1C1. Soit n ⩾2 .
    Etablir : ∫1n\int_{1}^{n}1n f ⩽ 12\frac{1}{2}21f(1) + f(2) + ... + f(n − 1) + 12\frac{1}{2}21f(n)

    merci d'avance
    bonne journée


  • mtschoon

    Alpha bonjour,

    Je te mets quelques pistes possibles, mais tout n'est pas explicité.
    Il faudra faire tous les calculs.

    Idée :
    i) Commencer par prouver une inégalité valable sur tout intervalle [a,b] de [1,+∞\infty[ en utilisant la convexité.
    ii) Appliquer l'inégalité trouvée aux intervalles [1,2],[2,3),...,[n-1,n] et ajouter membre à membre.

    Piste pour i)
    Soit A(a,f(a)) et B(b,f(b))
    L'équation du segment [AB] peut s'écrire :
    y=f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)y=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)y=baf(b)f(a)(xa)+f(a)
    Vu que f est convexe, la représentation graphique de f est au-dessous de [AB]
    donc, pour tout x de [a,b],
    f(x)≤f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)f(x)\le \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)f(x)baf(b)f(a)(xa)+f(a)
    En intégrant entre a et b, après calculs, on obtient (sauf erreur)
    ∫abf(x)dx≤f(b)−f(a)b−a×(b−a)22+f(a)(b−a)\displaystyle \int_a^b f(x)dx\le \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \times \dfrac{(b-a)^2}{2}+f(a)(b-a)abf(x)dxbaf(b)f(a)×2(ba)2+f(a)(ba)
    En simplifiant :
    $\fbox{\displaystyle \int_a^b f(x)dx\le(b-a) \dfrac{f(a)+f(b)}{2}}$ (***)

    Piste pour ii)
    En appliquant (***)
    ∫12f(x)dx≤f(1)+f(2)2\displaystyle \int_1^2 f(x)dx\le \dfrac{f(1)+f(2)}{2}12f(x)dx2f(1)+f(2)
    ∫23f(x)dx≤f(2)+f(3)2\displaystyle \int_2^3 f(x)dx\le \dfrac{f(2)+f(3)}{2}23f(x)dx2f(2)+f(3)
    ...
    ∫n−1nf(x)dx≤f(n−1)+f(n)2\displaystyle \int_{n-1}^n f(x)dx\le \dfrac{f(n-1)+f(n)}{2}n1nf(x)dx2f(n1)+f(n)

    D'où (en sommant et en simplifiant)
    $\fbox{\displaystyle \int_1^n f(x)dx\le \dfrac{f(1)}{2}+f(2)+...+f(n-1)+\dfrac{f(n)}{2}}$

    Bons calculs !


  • A

    Bonjour Mtschoon :

    Merci beaucoups,
    C'est compris

    Bonne journée


  • mtschoon

    De rien, Alpha.
    Si tes calculs ont bien fonctionné, c'est parfait.
    Bon week-end à toi.


  • A

    Oui ca fonctionne bien

    Merci infiniment

    Bon weekend


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