limite d'une suite avec une fonction continue

Bonjour

merci de m'aider

Soit f ∈ C ([0, 1], R). Déterminer $lim⁡n→∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}$ $1n\frac{1}{n}$ $∑i=1n\sum_{i=1}^{n}$ $1)^i$ f( $in\frac{i}{n}$ )

merci d'avance
bonne journée

@Alpha , bonjour,

Une idée,

Je n'ai pas regardé de près, mais il me parait heureux de traiter séparément n pair et n impair.
Penser bien sûr que pour i pair $1)^i=1$ et pour i impair $1)^i=-1$

Pour n pair, en explicitant :

$Sn=1n[−f(1n)+f(2n)−f(3n)+....−f(n−1n)+f(nn)]S_n=\dfrac{1}{n}\biggl[-f(\dfrac{1}{n})+f(\dfrac{2}{n})-f(\dfrac{3}{n})+....-f(\dfrac{n-1}{n})+f(\dfrac{n}{n})\biggl]$

En séparant en blocs

$Sn=1n[f(2n)+f(4n)+f(6n)+....−+f(nn)]−1n[f(1n)+f(3n)+....−+f(n−1n)]S_n=\dfrac{1}{n}\biggl[f(\dfrac{2}{n})+f(\dfrac{4}{n})+f(\dfrac{6}{n})+....-+f(\dfrac{n}{n})\biggl]-\dfrac{1}{n}\biggl[f(\dfrac{1}{n})+f(\dfrac{3}{n})+....-+f(\dfrac{n-1}{n})\biggl]$

$Sn=12×2n[f(2n)+f(4n)+....−+f(nn)]−1nf(1n)−12×2n[f(3n)+....−+f(n−1n)]S_n=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{n}\biggl[f(\dfrac{2}{n})+f(\dfrac{4}{n})+....-+f(\dfrac{n}{n})\biggl]-\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{n}\biggl[f(\dfrac{3}{n})+....-+f(\dfrac{n-1}{n})\biggl]$

On doit pouvoir faire apparaître des sommes de Reimann dont les limites seront $∫01f(x)dx\int _0^1f(x) dx$

La limite de $S_n$ cherchée devrait être 0

Vérifie cela de près et étudie le cas n impair.

merci beaucoups pour votre réponse
c'est utile

bonne journée

De rien et bon devoir Alpha.