limite d'une suite avec une fonction continue



  • Bonjour

    merci de m'aider

    Soit f ∈ C ([0, 1], R). Déterminer lim⁡n→∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}nlim 1n\frac{1}{n}n1∑i=1n\sum_{i=1}^{n}i=1n(−1)i(-1)^i(1)if(in\frac{i}{n}ni)

    merci d'avance
    bonne journée



  • @Alpha , bonjour,

    Une idée,

    Je n'ai pas regardé de près, mais il me parait heureux de traiter séparément n pair et n impair.
    Penser bien sûr que pour i pair (−1)i=1(-1)^i=1(1)i=1 et pour i impair (−1)i=−1(-1)^i=-1(1)i=1

    Pour n pair, en explicitant :

    Sn=1n[−f(1n)+f(2n)−f(3n)+....−f(n−1n)+f(nn)]S_n=\dfrac{1}{n}\biggl[-f(\dfrac{1}{n})+f(\dfrac{2}{n})-f(\dfrac{3}{n})+....-f(\dfrac{n-1}{n})+f(\dfrac{n}{n})\biggl]Sn=n1[f(n1)+f(n2)f(n3)+....f(nn1)+f(nn)]

    En séparant en blocs

    Sn=1n[f(2n)+f(4n)+f(6n)+....−+f(nn)]−1n[f(1n)+f(3n)+....−+f(n−1n)]S_n=\dfrac{1}{n}\biggl[f(\dfrac{2}{n})+f(\dfrac{4}{n})+f(\dfrac{6}{n})+....-+f(\dfrac{n}{n})\biggl]-\dfrac{1}{n}\biggl[f(\dfrac{1}{n})+f(\dfrac{3}{n})+....-+f(\dfrac{n-1}{n})\biggl]Sn=n1[f(n2)+f(n4)+f(n6)+....+f(nn)]n1[f(n1)+f(n3)+....+f(nn1)]

    Sn=12×2n[f(2n)+f(4n)+....−+f(nn)]−1nf(1n)−12×2n[f(3n)+....−+f(n−1n)]S_n=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{n}\biggl[f(\dfrac{2}{n})+f(\dfrac{4}{n})+....-+f(\dfrac{n}{n})\biggl]-\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{n}\biggl[f(\dfrac{3}{n})+....-+f(\dfrac{n-1}{n})\biggl]Sn=21×n2[f(n2)+f(n4)+....+f(nn)]n1f(n1)21×n2[f(n3)+....+f(nn1)]

    On doit pouvoir faire apparaître des sommes de Reimann dont les limites seront ∫01f(x)dx\int _0^1f(x) dx01f(x)dx

    La limite de SnS_nSn cherchée devrait être 0

    Vérifie cela de près et étudie le cas n impair.



  • merci beaucoups pour votre réponse
    c'est utile

    bonne journée



  • De rien et bon devoir Alpha.


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