Equation polynomiale

Bonjour
Je travaille durant cette période les polynomes, et je voudrais vous poser une question svp en ce qui concerne les equation des polynomes ( i.e : trouver tous les polynomes qui vérifie une équation, par ex : (X+4)P(X) = XP(X+1))
Ma question est : quelles sont les différentes méthodes utlisé pour répondre à ce genre de questions ?
PS : l'equation précédente n'est qu'un exemple pour que vous puissiez comprendre de quoi je parle.
Désolé si je n'ai pas arrivé à vous expliquer bien la question, dis moi si vous avez besoin d'une explication supplémentaire.

Merci d'avance. Bonne journée

@Alpha bonjour,

Pour résoudre une équation polynomiale du type que tu indiques, l'idée qui me vient est de chercher les racines du polynôme et de factoriser.

Je t'indique ce que tu peux faire avec l'équation que tu proposes $(X+4)P(X)=XP(X+1)\fbox{(X+4)P(X)=XP(X+1)}$ (1)

Je ne détaille pas tout. Je te mets seulement le principe.

Pour $X = - 4$ , (1) te permet de trouver $P (- 3) = 0$ donc -3 est racine de P
Pour $X = 0$ , (1) te permet de trouver $P (0) = 0$ donc 0 est racine de P
d'où $P (X) = X (X + 3) Q (X)$ (2)

Il faut trouver une équation polynomiale relative à Q
(1) permet d'écrire $(X + 4) X (X + 3) Q (X) = X P (X + 1)$
(2) permet d'écrire $P (X + 1) = (X + 1) (X + 4) Q (X + 1)$
puis $X P (X + 1) = X (X + 1) (X + 4) Q (X + 1)$
Par identification des deux expressions de $X P (X + 1)$ , tu obtiens :
$(X+3)Q(X)=(X+1)Q(X+1)\fbox{(X+3)Q(X)=(X+1)Q(X+1)}$ (3)

Tu traites Q comme tu as traité P
Tu obtiens -2 et -1 comme racine de Q d'où
$Q (X) = (X + 2) (X + 1) R (X)$ (4)

Tu réitères l'opération pour trouver une équation polynomiale relative à R
Je te laisse faire
Sauf erreur, tu dois trouver $R(X)=R(X+1)\fbox{R(X)=R(X+1)}$
D'où R constant : $R (X) = C$

Conclusion :
$P(X)=CX(X+1)(X+2)(X+3)\fbox{P(X)=CX(X+1)(X+2)(X+3)}$

Pour $C = 0$ , P est le polynôme nul
Pour $C≠0C\ne 0$ , P est un polynôme de degré 4 que tu peux expliciter

Tu peux faire une vérification en remplaçant P(X) par l'expression trouvée, dans l'équation (1) de départ.

Bons calculs .

@Alpha

Pour t'entraîner à des exercices sur les polynômes, je viens de faire des recherches sur le web.

Exo7, qui est un site très rigoureux de l'enseignement supérieur, propose ce pdf où il y a des exercices sur les polynômes avec corrections.

Si ça peut t'être utile, je te l'indique
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00097.pdf

Bon travail !

Merci beaucoups.

De rien @Alpha et bonne préparation !