Probabilité Loi/espérance


  • D

    Bonjour,
    pourrais-je avoir des pistes sur un exercice svp?

    1. Espérence d'une variable suivant une loi exponentielle

    2. Pareil pour une Cauchy où f_X(x) ≈ 1/(1+x^2)

    3) On tire à pile ou face tant qu'on n'a pas fait face. Quelle est la loi et l'espérance du nombre de lancers de dés ?
    

    Merci


  • mtschoon

    Dut, bonsoir,

    Je regard un peu tes questions,

    1. Une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambdaλ, c'est à dire ayant pour densité de probabilité la fonction fXf_XfX , définie sur [0,+∞[[0,+\infty[[0,+[ par fX(x)=λe−λxf_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}fX(x)=λeλx, a pour espérance E(X)=1λE(X)=\dfrac{1}{\lambda}E(X)=λ1

    2. Pour la loi de Cauchy , en principe , c'est plutôt fX(x)=1π(1+x2)f_X(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}fX(x)=π(1+x2)1
      Pour cette loi, l'espérance n'existe pas
      (l'espérance revient à calculer une intégrale qui diverge)

    3.Soit X le nombre de lancers.
    Epreuve : lancer une pièce
    évènement A : obtenir Face
    p(A)=p=12p(A)=p=\dfrac{1}{2}p(A)=p=21 (si la pièce est bien équilibrée)

    X suit la loi dite géométrique de paramètre p
    On dit parfois que X est le temps d'attente du premier évènement A
    Pour n∈N∗n\in N^*nN, P(X=n)=(1−p)n−1×pP(X=n)=(1-p)^{n-1}\times pP(X=n)=(1p)n1×p

    Pour cette loi, E(X)=1pE(X)=\dfrac{1}{p}E(X)=p1

    Ici, tu obtiens donc E(X)=2E(X)=2E(X)=2

    Approfondis ton cours, car tu dois y trouver tous ces éléments.

    Bon travail !


  • mtschoon

    Une remarque Dut,

    J'ignore l'esprit de ton exercice.

    Je t'ai indiqué les expressions usuelles de l'espérance dans les cas que tu demandes ; cela est pratiquement du cours.
    Si tu souhaites les démonstrations (par calcul intégral/calcul de somme), il faudra le dire.


  • D

    Bonsoir Mtschoon,

    1. Les bornes sont toujours [0, +inf]? fX(x) =lambda e(-lambda x) est une loi à apprendre par coeur?

    2. Comment de E(x) = 1/p on arrive à E(X) =2 ?

    Merci et bonne soirée


  • mtschoon

    Bonsoir Dut,

    Pour la 1), effectivement tu dois savoir la définition de loi exponentielle si tu veux pouvoir l'utiliser dans d'autres exercices.
    Pour une loi exponentielle (de paramètre λ\lambdaλ strictement positif)
    fX(x)=λe−λxf_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}fX(x)=λeλx pour x∈ [0,+∞[x\in\ [0,+\infty[ x [0,+[
    et
    fX(x)=0f_X(x)=0fX(x)=0 pour x∈]−∞,0[x\in ]-\infty,0[x],0[

    Je pense que tu parles ensuite de la question 3)

    Vu que p=12p=\dfrac{1}{2}p=21 ,

    E(X)=1p=112=1×21=2E(X)=\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=1\times \dfrac{2}{1}=2E(X)=p1=211=1×12=2

    Bonne soirée !


  • D

    Merci beaucoup
    Bonne soirée


  • mtschoon

    De rien Dut et bon travail !


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