Probabilité Loi/espérance

[dut]

Bonjour,
pourrais-je avoir des pistes sur un exercice svp?

1. Espérence d'une variable suivant une loi exponentielle

2. Pareil pour une Cauchy où f_X(x) ≈ 1/(1+x^2)

3) On tire à pile ou face tant qu'on n'a pas fait face. Quelle est la loi et l'espérance du nombre de lancers de dés ?

Merci

[mtschoon]

Dut, bonsoir,

Je regard un peu tes questions,

1. Une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, c'est à dire ayant pour densité de probabilité la fonction $f_X$ , définie sur $[0,+\infty [$ par $f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, a pour espérance $E(X)=\frac{1}{\lambda }$

2. Pour la loi de Cauchy , en principe , c'est plutôt $f_X(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$
   Pour cette loi, l'espérance n'existe pas
   (l'espérance revient à calculer une intégrale qui diverge)

3.Soit X le nombre de lancers.
Epreuve : lancer une pièce
évènement A : obtenir Face
$p(A)=p=\frac{1}{2}$ (si la pièce est bien équilibrée)

X suit la loi dite géométrique de paramètre p
On dit parfois que X est le temps d'attente du premier évènement A
Pour $n\in N^{\ast }$, $P(X=n)=(1-p{)}^{n-1}\times p$

Pour cette loi, $E(X)=\frac{1}{p}$

Ici, tu obtiens donc $E(X)=2$

Approfondis ton cours, car tu dois y trouver tous ces éléments.

Bon travail !

[mtschoon]

Une remarque Dut,

J'ignore l'esprit de ton exercice.

Je t'ai indiqué les expressions usuelles de l'espérance dans les cas que tu demandes ; cela est pratiquement du cours.
Si tu souhaites les démonstrations (par calcul intégral/calcul de somme), il faudra le dire.

[dut]

Bonsoir Mtschoon,

1. Les bornes sont toujours [0, +inf]? fX(x) =lambda e(-lambda x) est une loi à apprendre par coeur?

2. Comment de E(x) = 1/p on arrive à E(X) =2 ?

Merci et bonne soirée

[mtschoon]

Bonsoir Dut,

Pour la 1), effectivement tu dois savoir la définition de loi exponentielle si tu veux pouvoir l'utiliser dans d'autres exercices.
Pour une loi exponentielle (de paramètre $\lambda$ strictement positif)
$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ pour $x\in [0,+\infty [$
et
$f_X(x)=0$ pour $x\in ]-\infty ,0[$

Je pense que tu parles ensuite de la question 3)

Vu que $p=\frac{1}{2}$ ,

$E(X)=\frac{1}{p}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=1\times \frac{2}{1}=2$

Bonne soirée !

[dut]

Merci beaucoup
Bonne soirée

[mtschoon]

De rien Dut et bon travail !