Probabilté et simulation



  • Bonjour,
    j'ai un exercice à faire en maths dans le chapitre probabilité et plus précisément en probabilité et statistiques.

    Le sujet est:
    On s’intéresse au jeu suivant entre Alice et Bob :

    • Alice choisit(secrètement) un nombre a(strictement positif mais quelconque).
      -Elle tire ensuite n>2 nombres X1,X2,...,Xn indépendamment et uniformément dans l’intervalle [0,a] .n est un nombre fixe et décidé par Alice et Bob avant de jouer (par exemple n= 10. . . ).
      -Bob doit essayer de "deviner" le nombre a à partir des Xi.

    QUESTION 1:
    M= max(i) X(i) est un estimateur de a. Étudier pour différentes valeurs de a et de n de votre choix l’espérance de M.

    • Que remarquez-vous ?
      -Trouver (empiriquement) une formule (en fonction de a et de n) pour E[M] et déduisez-en comment"corriger"M pour que son espérance soit égale à a

    Merci par avance pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter



  • Dut bonsoir,

    Je regarde ta demande de plus de deux semaines . Tu n’as pas de réponse...et pour cause...
    Pour estimer empiriquement une espérance et une variance en fonction de a et n avec seulement quelques valeurs de a et de n laisse perplexe.
    Peut-être as-tu un programme de simulation performant dans ton cours
    .

    J’essaie de trouver E(M) puis V(M) de façon mathématique avec les lois de probabilités.

    Chacune des variables aléatoires X1,…,XnX_1,…,X_nX1,,Xn suit la loi uniforme sur [0,a], donc la fonction de répartition est F(x)=Pr(X≤x)=xaF(x)=Pr(X\le x)=\dfrac{x}{a}F(x)=Pr(Xx)=ax pour x compris entre 0 et a
    (F(x)=0 pour x inférieur à 0 et F(x)=1 pour x supérieur à a)

    M=Max(X1,…,Xn)M=Max{(X_1,…,X_n)}M=Max(X1,,Xn)
    La maximum est la plus grande des variables, donc, si M est inférieur à x, toutes les variables sont forcément inférieures à x
    Soit G la fonction de répartition de M.
    Comme les variables XiX_iXi sont indépendantes, G(x) est le produit des probabilités
    G(x)=Pr(M≤x)=xa×...×xa=(xa)nG(x)=Pr(M\le x)=\dfrac{x}{a}\times...\times \dfrac{x}{a}=\biggl(\dfrac{x}{a}\biggl)^nG(x)=Pr(Mx)=ax×...×ax=(ax)n

    La loi de probabilité de M (fonction de densité) est la dérivée de G
    G′(x)=na(xa)n−1G'(x)=\dfrac{n}{a}\biggl(\dfrac{x}{a}\biggl)^{n-1}G(x)=an(ax)n1

    L‘espérance mathématique est donc
    E(M)=∫0axG′(x)dx=∫0nxna(xa)n−1E(M)=\displaystyle \int_0^a xG'(x)dx=\int_0^n x\dfrac{n}{a}\biggl(\dfrac{x}{a}\biggl)^{n-1}E(M)=0axG(x)dx=0nxan(ax)n1

    E(M)=na∫0ax.xn−1an−1dx==nan∫0axndxE(M)=\displaystyle \dfrac{n}{a} \int_0^a\dfrac{x.x^{n-1}}{a^{n-1}}dx==\dfrac{n}{a^n}\int_0^a x^{n}dxE(M)=an0aan1x.xn1dx==ann0axndx

    E(M)=nan[xn+1n+1]0a=nan[an+1n+1]0aE(M)=\dfrac{n}{a^n} \biggl[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\biggl]_0^a=\dfrac{n}{a^n}\biggl[\dfrac{a^{n+1}}{n+1}\biggl]_0^aE(M)=ann[n+1xn+1]0a=ann[n+1an+1]0a

    Au final, après simplification

    $\fbox{E(M)=\dfrac{n}{n+1}a}$

    J'espère que l'expression de E(M) trouvée empiriquement ressemble à ça...

    Lorsque n augmente indéfiniment, nn+1\dfrac{n}{n+1}n+1n tend vers 1, donc E(M) tend vers a

    $\displaystyle \fbox{\lim_{n\to +\infty}E(M)=a}$



  • Pour V(M)

    V(M)=E(M2)−[E(M)]2V(M)=E(M^2)-[E(M)]^2V(M)=E(M2)[E(M)]2

    E(M2)=∫0ax2×G′(x)dx\displaystyle E(M^2)=\int_0^ax^2\times G'(x)dxE(M2)=0ax2×G(x)dx

    E(M2)=∫0ax2×na(xa)n−1dx\displaystyle E(M^2)=\int_0^a x^2\times \dfrac{n}{a}\biggl(\dfrac{x}{a}\biggl)^{n-1}dxE(M2)=0ax2×an(ax)n1dx

    E(M2)=nan∫0axn+1dx\displaystyle E(M^2)=\dfrac{n}{a^{n}}\int_0^a x^{n+1}dxE(M2)=ann0axn+1dx

    E(M2)=nan[xn+2n+2]0aE(M^2)=\dfrac{n}{a^{n}}\biggl[\dfrac{x^{n+2}}{n+2}\biggl]_0^aE(M2)=ann[n+2xn+2]0a

    Après calculs et simplifications

    E(M2)=nn+2a2E(M^2)=\dfrac{n}{n+2}a^2E(M2)=n+2na2

    Donc

    V(M)=nn+2a2−(nn+1)2a2V(M)=\dfrac{n}{n+2}a^2-\biggl(\dfrac{n}{n+1}\biggl)^2a^2V(M)=n+2na2(n+1n)2a2

    Après mise en facteur de a² , réduction au même dénominateur et simplifications, sauf erreur
    $\fbox{V(M)=a^2\biggl(\dfrac{n}{(n+2)(n+1)^2}\biggl)}$

    J'espère encore que l'expression trouvée empiriquement ressemble à celle ci...

    Lorsque n augmente indéfiniment, la quantité entre parenthèses tend vers 0 , donc V(M) tend vers 0

    $\displaystyle \fbox{\lim_{n\to +\infty}V(M)=0}$


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