Probabilté et simulation



  • Bonjour,
    j'ai un exercice à faire en maths dans le chapitre probabilité et plus précisément en probabilité et statistiques.

    Le sujet est:
    On s’intéresse au jeu suivant entre Alice et Bob :

    • Alice choisit(secrètement) un nombre a(strictement positif mais quelconque).
      -Elle tire ensuite n>2 nombres X1,X2,...,Xn indépendamment et uniformément dans l’intervalle [0,a] .n est un nombre fixe et décidé par Alice et Bob avant de jouer (par exemple n= 10. . . ).
      -Bob doit essayer de "deviner" le nombre a à partir des Xi.

    QUESTION 1:
    M= max(i) X(i) est un estimateur de a. Étudier pour différentes valeurs de a et de n de votre choix l’espérance de M.

    • Que remarquez-vous ?
      -Trouver (empiriquement) une formule (en fonction de a et de n) pour E[M] et déduisez-en comment"corriger"M pour que son espérance soit égale à a

    Merci par avance pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter


  • Modérateurs

    Dut bonsoir,

    Je regarde ta demande de plus de deux semaines . Tu n’as pas de réponse...et pour cause...
    Pour estimer empiriquement une espérance et une variance en fonction de a et n avec seulement quelques valeurs de a et de n laisse perplexe.
    Peut-être as-tu un programme de simulation performant dans ton cours
    .

    J’essaie de trouver E(M) puis V(M) de façon mathématique avec les lois de probabilités.

    Chacune des variables aléatoires X1,,XnX_1,…,X_n suit la loi uniforme sur [0,a], donc la fonction de répartition est F(x)=Pr(Xx)=xaF(x)=Pr(X\le x)=\dfrac{x}{a} pour x compris entre 0 et a
    (F(x)=0 pour x inférieur à 0 et F(x)=1 pour x supérieur à a)

    M=Max(X1,,Xn)M=Max{(X_1,…,X_n)}
    La maximum est la plus grande des variables, donc, si M est inférieur à x, toutes les variables sont forcément inférieures à x
    Soit G la fonction de répartition de M.
    Comme les variables XiX_i sont indépendantes, G(x) est le produit des probabilités
    G(x)=Pr(Mx)=xa×...×xa=(xa)nG(x)=Pr(M\le x)=\dfrac{x}{a}\times...\times \dfrac{x}{a}=\biggl(\dfrac{x}{a}\biggl)^n

    La loi de probabilité de M (fonction de densité) est la dérivée de G
    G(x)=na(xa)n1G'(x)=\dfrac{n}{a}\biggl(\dfrac{x}{a}\biggl)^{n-1}

    L‘espérance mathématique est donc
    E(M)=0axG(x)dx=0nxna(xa)n1E(M)=\displaystyle \int_0^a xG'(x)dx=\int_0^n x\dfrac{n}{a}\biggl(\dfrac{x}{a}\biggl)^{n-1}

    E(M)=na0ax.xn1an1dx==nan0axndxE(M)=\displaystyle \dfrac{n}{a} \int_0^a\dfrac{x.x^{n-1}}{a^{n-1}}dx==\dfrac{n}{a^n}\int_0^a x^{n}dx

    E(M)=nan[xn+1n+1]0a=nan[an+1n+1]0aE(M)=\dfrac{n}{a^n} \biggl[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\biggl]_0^a=\dfrac{n}{a^n}\biggl[\dfrac{a^{n+1}}{n+1}\biggl]_0^a

    Au final, après simplification

    E(M)=nn+1a\fbox{E(M)=\dfrac{n}{n+1}a}

    J'espère que l'expression de E(M) trouvée empiriquement ressemble à ça...

    Lorsque n augmente indéfiniment, nn+1\dfrac{n}{n+1} tend vers 1, donc E(M) tend vers a

    limn+E(M)=a\displaystyle \fbox{\lim_{n\to +\infty}E(M)=a}


  • Modérateurs

    Pour V(M)

    V(M)=E(M2)[E(M)]2V(M)=E(M^2)-[E(M)]^2

    E(M2)=0ax2×G(x)dx\displaystyle E(M^2)=\int_0^ax^2\times G'(x)dx

    E(M2)=0ax2×na(xa)n1dx\displaystyle E(M^2)=\int_0^a x^2\times \dfrac{n}{a}\biggl(\dfrac{x}{a}\biggl)^{n-1}dx

    E(M2)=nan0axn+1dx\displaystyle E(M^2)=\dfrac{n}{a^{n}}\int_0^a x^{n+1}dx

    E(M2)=nan[xn+2n+2]0aE(M^2)=\dfrac{n}{a^{n}}\biggl[\dfrac{x^{n+2}}{n+2}\biggl]_0^a

    Après calculs et simplifications

    E(M2)=nn+2a2E(M^2)=\dfrac{n}{n+2}a^2

    Donc

    V(M)=nn+2a2(nn+1)2a2V(M)=\dfrac{n}{n+2}a^2-\biggl(\dfrac{n}{n+1}\biggl)^2a^2

    Après mise en facteur de a² , réduction au même dénominateur et simplifications, sauf erreur
    V(M)=a2(n(n+2)(n+1)2)\fbox{V(M)=a^2\biggl(\dfrac{n}{(n+2)(n+1)^2}\biggl)}

    J'espère encore que l'expression trouvée empiriquement ressemble à celle ci...

    Lorsque n augmente indéfiniment, la quantité entre parenthèses tend vers 0 , donc V(M) tend vers 0

    limn+V(M)=0\displaystyle \fbox{\lim_{n\to +\infty}V(M)=0}


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