Probabilté et simulation

[dut]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire en maths dans le chapitre probabilité et plus précisément en probabilité et statistiques.

Le sujet est:
On s’intéresse au jeu suivant entre Alice et Bob :

• Alice choisit(secrètement) un nombre a(strictement positif mais quelconque).
  -Elle tire ensuite n>2 nombres X1,X2,...,Xn indépendamment et uniformément dans l’intervalle [0,a] .n est un nombre fixe et décidé par Alice et Bob avant de jouer (par exemple n= 10. . . ).
  -Bob doit essayer de "deviner" le nombre a à partir des Xi.

QUESTION 1:
M= max(i) X(i) est un estimateur de a. Étudier pour différentes valeurs de a et de n de votre choix l’espérance de M.

• Que remarquez-vous ?
  -Trouver (empiriquement) une formule (en fonction de a et de n) pour E[M] et déduisez-en comment"corriger"M pour que son espérance soit égale à a

Merci par avance pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter

[mtschoon]

Dut bonsoir,

Je regarde ta demande de plus de deux semaines . Tu n’as pas de réponse...et pour cause...
Pour estimer empiriquement une espérance et une variance en fonction de a et n avec seulement quelques valeurs de a et de n laisse perplexe.
Peut-être as-tu un programme de simulation performant dans ton cours.

J’essaie de trouver E(M) puis V(M) de façon mathématique avec les lois de probabilités.

Chacune des variables aléatoires $X_1,\dots ,X_n$ suit la loi uniforme sur [0,a], donc la fonction de répartition est $F(x)=Pr(X\le x)=\frac{x}{a}$ pour x compris entre 0 et a
(F(x)=0 pour x inférieur à 0 et F(x)=1 pour x supérieur à a)

$M=Max(X_1,\dots ,X_n)$
La maximum est la plus grande des variables, donc, si M est inférieur à x, toutes les variables sont forcément inférieures à x
Soit G la fonction de répartition de M.
Comme les variables $X_i$ sont indépendantes, G(x) est le produit des probabilités
$G(x)=Pr(M\le x)=\frac{x}{a}\times ...\times \frac{x}{a}=(\frac{x}{a}{)}^n$

La loi de probabilité de M (fonction de densité) est la dérivée de G
$G^{\prime }(x)=\frac{n}{a}(\frac{x}{a}{)}^{n-1}$

L‘espérance mathématique est donc
$E(M)={\int }_0^{a}x{G}^{\prime }(x)dx={\int }_0^{n}x\frac{n}{a}(\frac{x}{a}{)}^{n-1}$

$E(M)=\frac{n}{a}{\int }_0^a\frac{x.x^{n-1}}{a^{n-1}}dx==\frac{n}{a^n}{\int }_0^a{x}^{n}dx$

$E(M)=\frac{n}{a^n}[\frac{x^{n+1}}{n+1}{]}_0^a=\frac{n}{a^n}[\frac{a^{n+1}}{n+1}{]}_0^a$

Au final, après simplification

$\fbox{E(M)=\dfrac{n}{n+1}a}$

J'espère que l'expression de E(M) trouvée empiriquement ressemble à ça...

Lorsque n augmente indéfiniment, $\frac{n}{n+1}$ tend vers 1, donc E(M) tend vers a

$\displaystyle \fbox{\lim_{n\to +\infty}E(M)=a}$

[mtschoon]

Pour V(M)

$V(M)=E(M^2)-[E(M){]}^2$

$E(M^2)={\int }_0^a{x}^2\times G^{\prime }(x)dx$

$E(M^2)={\int }_0^a{x}^2\times \frac{n}{a}(\frac{x}{a}{)}^{n-1}dx$

$E(M^2)=\frac{n}{a^n}{\int }_0^a{x}^{n+1}dx$

$E(M^2)=\frac{n}{a^n}[\frac{x^{n+2}}{n+2}{]}_0^a$

Après calculs et simplifications

$E(M^2)=\frac{n}{n+2}{a}^2$

Donc

$V(M)=\frac{n}{n+2}{a}^2-(\frac{n}{n+1}{)}^2{a}^2$

Après mise en facteur de a² , réduction au même dénominateur et simplifications, sauf erreur
$\fbox{V(M)=a^2\biggl(\dfrac{n}{(n+2)(n+1)^2}\biggl)}$

J'espère encore que l'expression trouvée empiriquement ressemble à celle ci...

Lorsque n augmente indéfiniment, la quantité entre parenthèses tend vers 0 , donc V(M) tend vers 0

$\displaystyle \fbox{\lim_{n\to +\infty}V(M)=0}$