Calcul Intégral avec exponentielle (pour moyenne d'un signal n(t))
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ZzZey dernière édition par mtschoon
Bonsoir à tous,
Quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire pour obtenir le résultat final svp avec A=B= 0,5 ? Je suis plutôt bloquée au niveau de l'intégrale de l'exponentielle.
Je vous remercie d'avance.
pn(u)=A.δ(u)+B.12πσexp(−u22σ2)\displaystyle p_n(u)=A.\delta(u)+B.\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}exp\biggl(-\dfrac{u^2}{2\sigma^2}\biggl)pn(u)=A.δ(u)+B.2πσ1exp(−2σ2u2)(Formule en Latex re-écrite par la modération)
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@zZey ,bonjour.
L'écriture de ton énoncé est absolument catastrophique !
La question doit être écrite au clavier, et si les formules sont trop difficiles à écrire en Texte, il faut les écrites en LATEX.
Seuls les scans de graphiques ou tableaux numériques sont autorisés.
Pense y impérativement une autre fois, si tu as besoin.Dans ton "brouillon", je crois voir écrire 2πσ\sqrt{2\pi}\sigma2πσ alors que dans la formule de pnp_npn que tu donnes, il s'agit de 2πσ\sqrt{2\pi \sigma}2πσ ? ?
Cela ne semble pas normal...Vu que tu indiques que c'est l'intégrale de l'exponentielle qui te pose problème, je t'indique une PISTE qu'il faudra que tu adaptes en faisant un changement de variable
exp(−u22σ2)exp\biggl(-\dfrac{u^2}{2\sigma^2}\biggl)exp(−2σ2u2) peut être écrit exp(−(u2σ)2)exp\biggl(-(\dfrac{u}{\sqrt 2\sigma})^2\biggl)exp(−(2σu)2)
En posant x=u2σx=\dfrac{u}{\sqrt 2\sigma}x=2σu .
En faisant ce changement de variable, en sortant les constantes de l'intégrale, tu peux te ramener à calculer une intégrale de la forme :
I=∫−∞+∞x2e−x2dx\boxed{\displaystyle I=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-x^2}dx}I=∫−∞+∞x2e−x2dxIPP
U′=xe−x2U'=xe^{-x^2}U′=xe−x2 et V=xV=xV=x
U=−e−x22U=-\dfrac{e^{-x^2}}{2}U=−2e−x2 et V′=1V'=1V′=1Tu dois obtenir après transformations
I=[−xe−x22]+12∫−∞+∞e−x2dx\displaystyle I=\biggl[-\dfrac{xe^{-x^2}}{2}\biggl]+\dfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dxI=[−2xe−x2]+21∫−∞+∞e−x2dx
I=0+12∫−∞+∞e−x2dx\displaystyle I=0+\dfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dxI=0+21∫−∞+∞e−x2dxI=12∫−∞+∞e−x2dxI=\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dxI=21∫−∞+∞e−x2dx
∫−∞+∞e−x2dx\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx∫−∞+∞e−x2dx est l'intégrale de GAUSS
Par théorème ( tu peux trouver diverses démonstrations en vidéos sur le Web),
∫−∞+∞e−x2dx=π\displaystyle\boxed{ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}}∫−∞+∞e−x2dx=πL'intégrale I que je t'indique vaut donc
I=∫−∞+∞x2e−x2dx=π2\boxed{\displaystyle I=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-x^2}dx=\dfrac{\sqrt \pi}{2}}I=∫−∞+∞x2e−x2dx=2πA toi d'adapter ces calculs à ton exercice.
Bon courage !