Intégrale d'une fonction. Loi exponentielle (calcul de la médiane)

Bonsoir,
J'aurais besoin d'un peu d'aide sur le calcul d'une intégrale.
Il s'agit de $∫012(1−x)x.dx\int_0^1 2(1-x)x.dx$
J'aurais envie de sortir le 2 mais à part ça je ne sais pas trop quoi faire

Merci beaucoup par avance

@cours , bonsoir,

Tu transformes :

$I=2∫01(1−x)xdx=2∫01(x−x2)dx\displaystyle I=2\int_0^1(1-x)xdx=2\int_0^1(x-x^2)dx$

Utilise les primitives usuelles

Une primitive de $x$ est $x22\dfrac{x^2}{2}$

Une primitive de $x^2$ est $x33\dfrac{x^3}{3}$

Donc $I=2[x22−x33]01\displaystyle I=2\biggl[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\biggl]_0^1$

Après calculs aux bornes, tu dois trouver $I=13I=\dfrac{1}{3}$

Reposte si besoin.

Bonsoir !

Bonsoir,
Merci en effet ce n'était pas bien compliqué. Je n'ai pas pensé à faire la distributivité permettant de simplifier le calcul. Je cherchais une primitive du produit

Je bloque aussi sur un autre calcul de primitive.

Dans le cadre de la loi exponentielle je souhaite à calculer $∫0τfx(−x).dx\int_0^\tau fx(-x).dx$
= 1/2. Il faudrait trouver une primitive de f et de résoudre cette
équation
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_exponentielle, afin de trouver
$τ=ln⁡(2)/λ\tau =\ln(2)/\lambda$

Pensez-vous pouvoir m'aider une nouvelle fois?

@cours , bonjour,
Tu as dû mal écrire la formule car l'expression $fx(−x)\boxed{fx(-x)}$ ne veut rien dire...donc re-écrit la fonction que tu veux intégrer.

@cours ,
Vu le lien, je suppose qu'il s'agit de calculer la demi-vie $τ\tau$ (appelée médiane) d'une variable X suivant la loi exponentielle de paramètre $λ\lambda$
$(λ>0)(\lambda \gt 0)$

densité $f(x)=λe−λxf(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

Tu dois donc calculer $τ\tau$ tel que
$P(X≤τ)=12\boxed{P(X\le \tau )=\dfrac{1}{2}}$

Remarque(voir cours) : $P(X≤τ)=P(X>τ)=P(X≥τ)=12P(X\le \tau)=P(X\gt \tau)=P(X\ge \tau)=\dfrac{1}{2}$

$P(X≤τ)=∫0τλe−λxdx\boxed{P(X\le \tau )=\int_0^\tau \lambda e^{-\lambda x} dx}$

Donc,tu dois calculer $τ\tau$ tel que
$∫0τλe−λxdx=12\boxed{\int_0^\tau \lambda e^{-\lambda x} dx=\dfrac{1}{2}}$ (égalité ***)
Tu dois savoir qu'une primitive de $e^{ax}$ est $1aeax\dfrac{1}{a}e^{ax}$ (pour $\ne 0)$

$∫0τλe−λxdx=λ∫0τe−λxdx=λ[e−λx−λ]0τ=[−e−λx]0τ\displaystyle \int_0^\tau \lambda e^{-\lambda x} dx=\lambda\int _0^\tau e^{-\lambda x}dx=\lambda\biggl[\dfrac{e^{-\lambda x}}{-\lambda}\biggl]_0^\tau=\biggl[-e^{-\lambda x}\biggl]_0^\tau$

Après calculs aux bornes
$∫0τ−λe−λxdx=−e−λτ−(−1)\displaystyle \int_0^\tau -\lambda e^{-\lambda x} dx=-e^{-\lambda\tau}-(-1)$

c'est à dire :
$∫0τλe−λxdx=1−e−λτ\displaystyle \int_0^\tau \lambda e^{-\lambda x} dx=1-e^{-\lambda\tau}$

L'égalité *** permet donc d'écrire
$1−e−λτ=121-e^{-\lambda \tau}=\dfrac{1}{2}$

En transposant avec changement de signe : $e−λτ=12e^{-\lambda \tau}=\dfrac{1}{2}$

En prenant le logarithme népérien de chaque membre :
$−λτ=ln(12)-\lambda \tau=ln(\dfrac{1}{2})$

c'est à dire :
$−λτ=ln1−ln2-\lambda \tau=ln1-ln2$

Vu que ln1=0 :
$−λτ=−ln2-\lambda \tau=-ln2$ <=> $λτ=ln2\lambda \tau=ln2$ <=> $τ=ln2λ\boxed{\tau=\dfrac{ln2}{\lambda}}$

Je t'ai indiqué la démarche usuelle, mais re-poste si cela ne correspond pas au calcul souhaité (en écrivant exactement l'intégrale que tu veux calculer)

BOnjour, merci merci pour l'aide. Dans l'exercice de mon livre de terminal il ne parle pas de demi-vie mais ça semble être bien ça, je retiens le terme.
Je vais essayer de refaire le calcul.
Merci à vous

@cours, de rien !

J'ignore les termes de ton manuel...
Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène "sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure".
Comme tu parlais de probabilité de 1/2, cela correspond à la "demi-vie".
On peut parler aussi de "médiane"

Demande si le calcul te pose problème.

Re bonsoir, après avoir repris attentivement le calcul je suis perdu à partir de "En transposant avec changement de signe"
Merci

@cours ,

Je regarde et j'essaie de détailler,

$1−e−λτ=121-e^{-\lambda\tau}=\dfrac{1}{2}$

$−e−λτ=12−1-e^{-\lambda\tau}=\dfrac{1}{2}-1$

$−e−λτ=−12-e^{-\lambda\tau}=-\dfrac{1}{2}$

En multipliant chaque membre par (-1), c'est à dire en changeant les deux signes
$e−λτ=12e^{-\lambda\tau}=\dfrac{1}{2}$

En prenant le logarithme népérien de chaque membre (strictement positif)
$ln(e−λτ)=ln(12)ln(e^{-\lambda\tau})=ln(\dfrac{1}{2})$

Or, (propriétés du logarithme népérien)
$ln(e−λτ)=−λτ×lne=−λτ×1=−λτln(e^{-\lambda\tau})=-\lambda\tau \times lne =-\lambda\tau\times 1=-\lambda \tau$

Donc:
$−λτ=ln(12)-\lambda\tau=ln(\dfrac{1}{2})$

$−λτ=ln1−ln2-\lambda\tau=ln1-ln2$

$−λτ=−ln2-\lambda\tau=-ln2$

$λτ=ln2\lambda\tau=ln2$

Tu termines en divisant par $λ\lambda$ .

Demande si ce n'est pas assez clair.

Bon travail @cours !