Autour des tests d’hypothèse

[Nok700]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour la question 2 s'il vous plait.

Une machine fabrique en grand nombre des boules sphériques. Elles doivent avoir un diamètre
de 45 mm . On admet que l’écart type est de 0,15.
On mesure le diamètre en mm de 50 boules. On obtient le tableau suivant

Diamètre 44,7 44,8 44,9 45 45,1 45,2
Effectif 5 8 10 14 7 6

1. Déterminer la moyenne ! de cet échantillon.
2. PeutTon affirmer au seuil du risque de 5% que la machine est bien réglée ?(on fera un test bilatéral)

Pour la question 1 j'ai trouver : moyenne X = 44.956
( je n'ai pas de cours sur le test bilatéral car on la brièvement vu en cours a distance )
merci d'avance pour votre aide

[Guillaume.87]

@Nok700
Bonjour,

Je vais essayer de t'aider mais je ne suis vraiment pas spécialiste des statistiques.

J'ai trouvé ces cours, qui me paraîssent assez clairs, il pourront probablement t'aider et faire écho à des choses que tu as vues en e-learning :

http://iml.univ-mrs.fr/~reboul/cours6.pdf
et
https://www.gerad.ca/Sebastien.Le.Digabel/MTH2302D/11_tests_part1.pdf

et surtout
https://www.math.univ-toulouse.fr/~besse/Wikistat/pdf/st-l-inf-tests.pdf

Ta moyenne observée, elle, est exacte, pas de problème pour cela.
Connais-tu la Loi Normale centrée Réduite ? Et sais-tu te servir de ta calculatrice pour manipuler cette loi de probabilité?

[Nok700]

@Guillaume-87
Merci pour ta réponse

D'après les PDF que tu ma envoyer il me semble que je dois faire :
$\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{N_1}+\frac{{\sigma }^2}{N_2}}$

N1 et N2 = 50
Mais je n'ai aucune idée de ce qu'il faut mettre en sigma1 et sigma2

Et ensuite avec le résultat faire [−1,96×Résultat; 1,96×Résultat] = −X; X

Avec la calculette j'arrive a trouver
Sigma X = 0.147
SX = 0.148
N = 50
moyenne X = 44.956

[Guillaume.87]

@Nok700
Alors je ne le comprends pas de cette manière, pour moi ce que tu proposes correspondrait plutôt à un calcul qui permettrait de comparer deux écart-types dans deux échantillons différents ou de calculer la moyenne des deux écarts-types de ces deux échantillons. Donc à l'instinct, je dirais que le calcul que tu proposes n'est pas nécessaire ici.

Après avoir un peu potassé tout ça, je dirais qu'il faut plutôt appliquer la méthodologie présentée page 2 du 3ème document. En effet, ici on connaît l'écart-type, et l'on cherche à réaliser un test bilatéral portant sur le paramètre de moyenne $\mu$, censée être égale à 50 en valeur théorique, lorsque toi tu trouves $\bar{X}=44.956$.
La question semble donc : est-il "normal" de trouver une moyenne d'échantillon aussi différente de la valeur théorique ?

Pour moi, il faut donc se ramener à une loi normale centrée réduite en posant $Z=\frac{\overline{X_n}-50}{\sigma /\sqrt{n}}=\sqrt{n}\cdot \frac{\overline{X_n}-50}{\sigma }$.
C'est pour cela que je te parlais de loi normale centrée réduite, car cette variable aléatoire $Z$ suit une loi normale centrée réduite $N(0;1)$. Le but est donc de savoir si la probabilité que la moyenne d'un échantillon représentatif de taille $n$ soit inférieure ou égale à la valeur mesurée $\bar{X}$ est suffisamment petite pour pouvoir considérer que c'est anormal, et donc que cet échantillon met en doute les certifications techniques données par le fabriquant. Ce "suffisamment petite" est décidé par l'énoncé, lorsqu'il annonce que le seuil est de 5%

Il faut donc calculer la probabilité $P(Z\le \sqrt{n}\cdot \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma })$ en utilisant ta calculatrice, et les paramètres $n$, $\bar{X}$, $\mu$ et $\sigma$ sont déjà connus. Si le résultat de cette probabilité est plus petit que 0.05/2, c'est-à-dire 0.025, alors on peut conclure que c'est anormal et remettre en doute les caractéristiques annoncées par les fabricants.

Je ne sais pas si je m'exprime clairement ? Mais tout ce que je dis là n'est que ce que j'ai compris de ce que j'ai lu et de mes connaissances en statistiques (relativment limitées), donc j'encourage vivement toutes les personnes qui maîtrisent mieux le sujet à compléter, confirmer ou rectifier complètement ce que j'ai dit !