Recherche sur calcul intégral

[Wil Fried]

J'ai besoin d'aide pour cet exercice svp
Intégral allant de 0 à pi/2 de Ln(sinx)dx.
Calculer cet intégral

[mtschoon]

@Wil-Fried , bonsoir,

Bien sûr, ce genre d'intégrale ne se calcule pas de façon usuelle. mais celle ci est assez classique

Sauf erreur, elle vaut $-\frac{\pi }{2}ln2$

Je te joins deux vidéos qui la calcule.
Elles ne sont pas en français et un peu fatigantes à entendre mais on peut suivre les calculs.

https://www.youtube.com/watch?v=XJ-6laZLTRY

https://www.youtube.com/watch?v=iNaiq_IETEs

[Wil Fried]

@mtschoon merci beaucoup monsieur!
Je faisais des recherches et je suis tombé dessus donc j'aimerai savoir calculer ce genre.

[mtschoon]

De rien @Wil-Fried ,

Ce n'est pas monsieur, c'est "madame" mais aucune importance, et bonne lecture.

[Wil Fried]

@mtschoon oups!! Excusez moi!

[mtschoon]

@Wil-Fried , pas de problème !

[mtschoon]

Quelques pistes pour éclairer, peut-être, le calcul de $\boxed{I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx}$

Soit $f(x)=ln(sinx)$ d'où $f^{\prime }(x)=\frac{cosx}{sinx}$

Tableau de variation sur $]0,\pi [$

Représentation graphique sur $]0,\pi [$

I représente "l'aire algébrique" (ici négative) de la zone coloriée.

[mtschoon]

$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx$
(intégrale "impropre" convergente)

Soit $J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(cosx)dx$

Changement de variable $x=\frac{\pi }{2}-t$ d'où $dx=-dt$
$I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}ln(sin(\frac{\pi }{2}-t)(-dt)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(cost)dt$

Donc $I=J$

Conséquence:
$I+J=2I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(cosx)dx$

$2I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[ln(sinx)+ln(cosx)]dx$

$2I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(sinxcosx)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(\frac{1}{2}sin(2x))dx$

$2I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln\frac{1}{2}dx+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(2x))dx$

Soit $K={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln\frac{1}{2}dx$ =$[ln\frac{1}{2}x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}ln\frac{1}{2}=-\frac{\pi }{2}ln2$

Soit $L={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(sin(2x))dx$

Changement de variable $u=2x$ d'où $du=2dx$

$L={\int }_0^{\pi }ln(sinu)\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }ln(sinu)du$

$L=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}ln(sinu)du+\frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }ln(sinu)du$

$L=\frac{1}{2}I+\frac{1}{2}I$ (voir axe de symétrie d'équation $x=\frac{\pi }{2}$, de la courbe représentée)

$L=I$

CONCLUSION

Vu que $2I=K+L$, on déduit $2I=-\frac{\pi }{2}ln2+I$

Et enfin $\boxed{I=-\frac{\pi }{2}ln2}$

CQFD.

[Wil Fried]

@mtschoon waoo!! Merci beaucoup! Je reprendrai seul pour vérifier ma compréhension.

[Wil Fried]

@mtschoon J'ai deux questions svp !
La première.. Pourquoi vous avez fait sorti une nouvelle intégrale «J» ?
La deuxième.. Pourquoi avoir choisi de poser que x =( pi/2)-t en particulier ?

[mtschoon]

@Wil-Fried , bonjour,

Très bonne idée de reprendre seul la démonstration

Pour ta première question.
Les fonctions sin et cos sont de "même nature"
L'intégrale de ln(sin(x)) et l'intégrale de ln(cos(x)) sont aussi de même nature.

Si on regarde graphiquement ces intégrales, sans calcul, on constate qu'elles sont égales

Bien sûr, il faut le démontrer mathématiquement.

Calculer l'une revient à calculer l'autre.

L'astuce de la démonstration générale est de calculer I+J ( qui vaut 2I ) pour pouvoir faire des transformations en utilisant les propriétés du logarithme (lna+lnb=ln(ab) et les propriétés trigonométriques (formule de duplication sin(2a)=2sinacosa, c'est à dire sinacosa=(1/2)sin(2a)
Ensuite, tout le reste des calculs s'en déduit.

Pour ta seconde question
Il faut démontre mathématiquement que J=I
IL faut donc transformer un cosinus en sinus
La méthode la plus simple est d'utiliser les angles complémentaires.
(Pour faire court, dans tout triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut $\pi$/2). Le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre)

En posant $x=\frac{\pi }{2}-t$, $sinx$, qui vaut ainsi $sin(\frac{\pi }{2}-t)$ se transforme en $cost$

J'espère avoir répondu à tes deux questions.

Contente que cette intégrale , assez classique, mais qui finalement se calcule sans trop de difficultés (à condition de pense à une bonne stratégie) , t'intéresse.

[Guillaume.87]

@Wil-Fried

Bonjour,

En attendant une réponse peut-être plus détaillée de @mtschoon , je me permets de te répondre pour t'aider en attendant. Tu l'as compris, cette intégrale $I$ ne se calcule pas directement avec une primitive : il faut donc ruser, et "contourner le calcul" en raisonnant par égalités successives pour aboutir à un résultat chiffré de cette intégrale.

L'intégrale $J$ est en réalité l'intégrale $I$, c'est tout à fait la même chose comme le prouve la 5ème ligne de la démonstration de @mtschoon . Cette intégrale $J$ est donc une autre façon d'écrire l'intégrale $I$, ce qui permettra ensuite d'utiliser les propriétés algébriques de la fonction $ln$ et les formules trigonométriques en additionnant $I$ et $J$ : ainsi, on obtiendra un premier résultat préliminaire.

[mtschoon]

@Guillaume-87 , bonjour,

Je pense que nos réponses se sont croisées...

Bonne journée à toi

[Guillaume.87]

@mtschoon
Oui tout à fait,

J'étais en train d'écrire la suite mais je me suis arrêté en voyant que tu avais posté ta réponse. je te laisse donc finir tes explications !

Bonne journée à toi

[mtschoon]

@Guillaume-87 ,

J'espère que mes explications complémentaires suffiront à @Wil-Fried .

[Wil Fried]

@mtschoon Je vous remercie infiniment vous et @Guillaume-87 pour vos éclairages. Je vais refaire et s'il y a encore des zones d'ombres vous revenir pour plus d'éclaircissements!
Merci encore!

[mtschoon]

@Wil-Fried , d'accord, revient si nécessaire et bons calculs !