Exercice D'analyse Licence 1 d'économie

[Wil Fried]

Bonsoir à tous!
J'ai cet exercice que je ne comprend pas :
Montrer que 2^n > n ( n€N)
Et en déduire que Un= 1/2^n

[Black-Jack]

Bonjour,

Une manière comme une autre :

Etudier les variations de la fonction f telle que f(x) = 2^x - x pour x réel >= 0

f'(x) = ... (dont on déduira que f'(x) > 0 et donc f croissante)
f(0) = 1

Des 2 lignes précédentes, on déduit que f(x) >= 1 et a fortiori f(x) > 0

Donc 2^x - x > 0
2^x > x
qui est vrai pour tout x >= 0 donc aussi si x = n (de N) --> 2^n > n

Pour le reste, l'énoncé est incomplet.
Un n'est pas définie dans le morceau d'énoncé que tu donnes.

[Wil Fried]

@Black-Jack Concernant la déduction pour le terme général, c'est l'énoncé qui là. J'ai rien retiré.

[Wil Fried]

@Black-Jack Merci beaucoup
J'aimerais j'ai aussi utilisé une démonstration par récurrence mais j'ai des doutes sur mon cheminement en fait.

[mtschoon]

Bonjour,

@Wil-Fried , si tu veux faire une récurrence pour ta première question, je t'indique quelques pistes.
(Evidemment, comme déjà indiqué, il faudrait l'expression de $Un$ pour répondre à ta seconde question)

Tu veux donc démontrer que $2^n>n$ pour tout n de N.

Pour n=0 :
$2^0=1$. Vu que $1>0$ , la propriété est vraie.

Récurrence pour $n\in N^{\ast }$

Initialisation pour n=1
$2^1=2$ Vu que $2>1$ , la propriété est vraie.

Transmission.

Hypothèse à un ordre n de $N^{\ast }$ : $2^n>n$
Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) : $2^{n+1}>n+1$

Demonstration :
Par hypothèse de la récurrence : $2^n>n$

En multipliant chaque membre par 2 :
$2\times 2^n>2\times n$ c'est à dire $2^{n+1}>2n$

Or, $2n\ge n+1$ <=> $2n-n\ge 1$<=> $n\ge 1$

Conclusion :
$2^{n+1}>2n\ge n+1$ d'où : $2^{n+1}>n+1$

CQFD.

[Wil Fried]

@mtschoon Concernant la seconde question vous aviez raison, le docteur dit qu'il s'était trompé dans l'énoncé.

[mtschoon]

@Wil-Fried , bonjour,

Effectivement, ton professeur a dû mélanger deux énoncés ; ça peut arriver en faisant beaucoup de choses...

Pour donner un sens à cette question 2, qui n'a rien à voir avec la question 1), si tu veux t'entraîner, je te propose un énoncé possible pour cette question 2.

Par exemple :

Pour tout n de N*, soit
$U_n=1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n})$
Démontrer que $U_n=\frac{1}{2^n}$

Pistes pour une démonstration directe (on pourrait bien sûr faire une récurrence )

Soit $S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}$
d'où :
$2S_n=\frac{2}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{2}{2^n}$

En transformant , on trouve :

$2S_n=1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}})$

On peut écrire :

$2S_n=1+(S_n-\frac{1}{2^n})$

d'où $S_n=1-\frac{1}{2^n}$

Conclusion :

$U_n=1-(1-\frac{1}{2^n})$

Après simplification :

$\boxed{U_n=\frac{1}{2^n}}$

CQFD.

Bonne lecture.