EXERCICE COORDONNEE D'UN VECTEUR DANS UNE BASE

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver un résultat logique pour les coordonnées de i et j dans la base B'et du coup de je n'arrive pas à trouver les coordonées de M.

Soit R = (0,i,j) ( i et j des vecteurs) un repère orthonormé du plan euclidien. On pose u = 3i + j, v = i + j, et on considère le point OO'caractérisé par l’égalité OO' =i−j, ainsi qu’un point M caractérisé par l’égalité
OM = xi − yj.
— Faire un dessin.
— Montrer que le couple (u, v), des vecteurs, est une base, que l’on note B'
Le triplet (O', u, v) forme donc un repère, noté R'

— Calculer les coordonnées de i et j dans la base B
je trouve i, un vecteur i(xi=3 ,yi= 1 ) et j(xj=1 , yj=1)

— En déduire les coordonnées de M dans le repère R'

Merci d'avance pour votre aide !

@mimims , bonjour,

Dans ton texte, il doit y avoir une faute de frappe dans la première question : ce doit être Calculer les coordonnées de i et j dans la base B' et non Calculer les coordonnées de i et j dans la base B , vu qu'on les a déjà.

Il faut que tu exprimes $i→\overrightarrow{i}$ et $j→\overrightarrow{j}$ en fonction de $u→\overrightarrow{u}$ et $v→\overrightarrow{v}$

${3i→+j→=u→i→+j→=v→\begin{cases}3\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}= \overrightarrow{u} \cr \overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}= \overrightarrow{v} \end{cases}$

Tu résous ce système.
Par exemple,
En retranchant membre à membre et en divisant par 2, tu dois obtenir $i→=12u→−12v→\overrightarrow{i}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{v}$
Tu peux terminer par substitution et tu trouves, sauf erreur,
$j→=−12u→+32v→\overrightarrow{j}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}+\dfrac{3}{2} \overrightarrow{v}$

Tu as donc ainsi les coordonnées de $i→\overrightarrow{i}$ et de $j→\overrightarrow{j}$ dans la base B' et tu dois pouvoir continuer ton exercice.

Reposte si besoin.

@mtschoon Bonjour,

Je trouve que i=4/9u-1/3v et j=-1/3u+v et donc pour en déduire les coordonnées, il faudra reprendre les égalités donc est ce que j’écris que M(i,j) ?

@mimims , bonjour,

Tu devrais revoir tes calculs car tes résultats sont inexacts.
(Tu peux donner tes calculs pour que l'on trouve l'erreur)

Tu peux revoir mon poste précédent .

Comme déjà indiqué, en retranchant membre à membre les deux égalités pour éliminer $j→\overrightarrow{j}$ , on obtient
$2i→=u→−v→2\overrightarrow{i}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$
En divisant par 2 : $i→=12u→−12v→\boxed{\overrightarrow{i}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v}}$

En remplaçant $i→\overrightarrow{i}$ par ce qui vient d'être trouvé, la seconde égalité devient : $12u→−12v→+j→=v→\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{j}=\overrightarrow{v}$
Tu n'as plus qu'à transposer pour trouver $j→\overrightarrow{j}$
$j→=−12u→+32v→\boxed{\overrightarrow{j}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{v}}$

Pour la suite,
$O′M→=O′O→+OM→\overrightarrow{O'M}=\overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{OM}$

D'après l'énoncé, (si tu n'as pas fait de faute en le recopiant , car je trouve un peu bizarre le -y dans $OM→\overrightarrow{OM}$ ; vérifie avant de faire les calculs), tu peux écrire :

$O′O→=−i→+j→\overrightarrow{O'O}=-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$
$OM→=xi→−yj→\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}-y\overrightarrow{j}$

En ajoutant,
$O′M→=(x−1)i→+(1−y)j→\overrightarrow{O'M}=(x-1)\overrightarrow{i}+(1-y)\overrightarrow{j}$

Il te reste à remplacer $i→\overrightarrow{i}$ et $j→\overrightarrow{j}$ par leurs expressions encadrées dans mon post précédent et terminer le calcul pour obtenir les coordonnées de M dans le repère $(O′,u→,v→)(O',\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

Bons calculs.

Remarque :
Ce que je t'ai indiqué pour la seconde question est du calcul vectoriel car il me semble que c'est ce que suggère l'énoncé.

Si tu connais les matrices de passage d'une base à une autre, on peut aussi faire, à la place, du calcul matriciel.
Indique le si ça t'intéresse (et si ça correspond à ton cours).

@mtschoon

Bonjour, merci pour votre réponse !

Mais j’ai encore une question, devrais je développer l’expression pour obtenir les coordonnées en fonction de u et v ?

@mimims , bonjour,

C'est tout à fait ça.

Ainsi, tu pourras obtenir une expression de la forme
$O′M→=αu→+βv→\overrightarrow{O'M}=\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}$

$(α,β)(\alpha, \beta)$ seront les coordonnées cherchées.

Remarque ( que je t'ai faite précédemment ) : avant de faire les calculs, vérifie ton énoncé, pour être sûre que tu n'aies pas fait une faute de frappe.
Tu as écrit : $OM→=xi→−yj→\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}-y\overrightarrow{j}$
Si j'avais proposé cet énoncé, j'aurais plutôt indiqué :
$OM→=xi→+yj→\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ .
Alors, vérifie bien.