Exercice portant sur les notions de tribu et mesure
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Corentin Deboix dernière édition par
Bonjour à toutes et à tous !
J'ai un petit exercice qui me pose un problème. Voici l'énoncé :
Soit (X,T,μ)(X,T,\mu)(X,T,μ) un espace mesuré.
- Soit (An)n≥1(A_n)_{n\geq 1}(An)n≥1 une suite d'éléments de TTT tel que la série
∑n≥1μ(An)\sum_{n\geq 1}{\mu (A_n)}∑n≥1μ(An) converge. Pour tout entier k≥1k\geq 1k≥1, posons Bk=⋃n≥kAnB_k=\bigcup_{n\geq k}{A_n}Bk=⋃n≥kAn . Vous montrerez que μ(⋂k≥1Bk)=0\mu (\bigcap_{k\geq 1}{B_k}) =0μ(⋂k≥1Bk)=0
- Soit ν\nu ν une mesure sur (X,T)(X,T)(X,T) tel que ν(X)≤+∞\nu (X) \leq +\infty ν(X)≤+∞ (Strictement mais apparemment le langage LaTex ne le prend pas si je mets direct le signe < ). Supposons que : pour tout A∈TA \in TA∈T, μ(A)=0⇒ν(A)=0\mu(A) =0 \Rightarrow \nu(A) =0μ(A)=0⇒ν(A)=0.
Soit ϵ∈R+<em>\epsilon \in R_{+}^{<em>}ϵ∈R+<em>. Vous prouverez qu'il existe δ∈R+</em>\delta \in R_{+}^{</em>}δ∈R+</em> tel que pour tout A∈TA \in TA∈T
μ(A)≤δ⇒ν(A)≤ϵ\mu(A) \leq \delta \Rightarrow \nu(A) \leq \epsilonμ(A)≤δ⇒ν(A)≤ϵ (avec des signes encore strictes)Où j'en suis dans mon travail
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Je suis un peu perdu avec l'intersection parce que du coup je ne peux pas utiliser la défintion de la mesure qui dit que μ(⋃n≥kBk)=∑n≤kμ(Bk)\mu ( \bigcup_{n\geq k}{B_k})= \sum_{n \leq k}{\mu(B_k)}μ(⋃n≥kBk)=∑n≤kμ(Bk)
J'ai remplacé BkB_kBk par sa définition mais j'ai l'impression que cela n'arrange rien. -
J'ai essayé de le montrer par l'absurde mais je n'ai pas réellement réussi. En effet, j'ai voulu montrer qu'il n'existe pas de δ\deltaδ tel que pour tout A∈TA \in TA∈T μ(A)≤δ⇒ν(A)≤ϵ\mu(A) \leq \delta \Rightarrow \nu(A) \leq \epsilonμ(A)≤δ⇒ν(A)≤ϵ (avec des signes encore strictes). Mais peut-être je m'y prends mal.
Je suis preneur de toute aide, réfléxion et conseil. Je vous en remercie d'avance.
Je vous souhaite une bonne journée
Bien cordialement