Exercice portant sur les notions de tribu et mesure


  • Corentin Deboix

    Bonjour à toutes et à tous !

    J'ai un petit exercice qui me pose un problème. Voici l'énoncé :

    Soit (X,T,μ)(X,T,\mu)(X,T,μ) un espace mesuré.

    1. Soit (An)n≥1(A_n)_{n\geq 1}(An)n1 une suite d'éléments de TTT tel que la série

    ∑n≥1μ(An)\sum_{n\geq 1}{\mu (A_n)}n1μ(An) converge. Pour tout entier k≥1k\geq 1k1, posons Bk=⋃n≥kAnB_k=\bigcup_{n\geq k}{A_n}Bk=nkAn . Vous montrerez que μ(⋂k≥1Bk)=0\mu (\bigcap_{k\geq 1}{B_k}) =0μ(k1Bk)=0

    1. Soit ν\nu ν une mesure sur (X,T)(X,T)(X,T) tel que ν(X)≤+∞\nu (X) \leq +\infty ν(X)+ (Strictement mais apparemment le langage LaTex ne le prend pas si je mets direct le signe < ). Supposons que : pour tout A∈TA \in TAT, μ(A)=0⇒ν(A)=0\mu(A) =0 \Rightarrow \nu(A) =0μ(A)=0ν(A)=0.

    Soit ϵ∈R+<em>\epsilon \in R_{+}^{<em>}ϵR+<em>. Vous prouverez qu'il existe δ∈R+</em>\delta \in R_{+}^{</em>}δR+</em> tel que pour tout A∈TA \in TAT
    μ(A)≤δ⇒ν(A)≤ϵ\mu(A) \leq \delta \Rightarrow \nu(A) \leq \epsilonμ(A)δν(A)ϵ (avec des signes encore strictes)

    Où j'en suis dans mon travail

    1. Je suis un peu perdu avec l'intersection parce que du coup je ne peux pas utiliser la défintion de la mesure qui dit que μ(⋃n≥kBk)=∑n≤kμ(Bk)\mu ( \bigcup_{n\geq k}{B_k})= \sum_{n \leq k}{\mu(B_k)}μ(nkBk)=nkμ(Bk)
      J'ai remplacé BkB_kBk par sa définition mais j'ai l'impression que cela n'arrange rien.

    2. J'ai essayé de le montrer par l'absurde mais je n'ai pas réellement réussi. En effet, j'ai voulu montrer qu'il n'existe pas de δ\deltaδ tel que pour tout A∈TA \in TAT μ(A)≤δ⇒ν(A)≤ϵ\mu(A) \leq \delta \Rightarrow \nu(A) \leq \epsilonμ(A)δν(A)ϵ (avec des signes encore strictes). Mais peut-être je m'y prends mal.

    Je suis preneur de toute aide, réfléxion et conseil. Je vous en remercie d'avance.
    Je vous souhaite une bonne journée
    Bien cordialement


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