Propriétés dès estimateur des MCO

Bonsoir à tous je viens cette fois avec du supérieur

Soit le modem suivant
$Yi=β0+β1Xi+εiY_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$ avec i=1,2 ... n
Montrer que les estimateurs $β1\beta_1^$ et $β0\beta_0^$ sont BLUE c’est à dire
Linéaire sans biais et convergent
Déjà sait que par les MCO
$β0opt\beta_0^opt$ = $Y→−β1optoverrightarrowY\overrightarrow{Y}-\beta_1^optoverrightarrow{Y}$
Et $β1opt\beta_1^opt$ = $Cov(X,Y)V(X)=∑i=1n(Xi−X→)∗(Yi−X→)∑i=1n(Xi−X→)2\dfrac{Cov(X,Y)}{V(X)}=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overrightarrow{X})*(Y_i-\overrightarrow{X})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overrightarrow{X})^2}$
En centrant les variables jepeux écrire
Que $β1opt=∑i=1n(xi)(yi)∑i=1n(xi)2avec\beta_1^opt=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i)(y_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2} avec$ y_i=\beta_1x_i+\varepsilon_i}$
En remplaçant $y_i$ par sa valeur je parviens à montrer que les estimateurs Sont sans biais mais je bloque sur la démonstration de la variance minimale et linéaire (combinaison linéaire des observations $Y_i$ )
Merci de pouvoir m’aider ! Mes dames !