Montrer qu'une fonction est polynomiale et de degré 2

[MOUNA8]

Bonjour, j'ai du mal à résoudre la question c.
Soient X et Y deux vecteurs de même dimension.
a) Montrer que X.X=llXll^2
b) En déduire que llX+Yll^2=llXll^2+2X.Y+llYll^2
c) On considère l’application f : λ ∈ R 7→llX+λYll^2
Montrer que f est une fonction polynomiale de
degré 2 positive ou nulle. Que peut-on en déduire quant au discriminant associé à f ?
d) En déduire l’inégalité de Cauchy-Schwarz

[mtschoon]

@mimims , bonjour,

Tu ne donnes guère d'indications sur ce que tu as fait...

Je regarde un peu.

a) Utilise la définition de norme que ton cours de donne.
En principe,
$||\overrightarrow{X}||$=$\sqrt{\overrightarrow{X}.\overrightarrow{X}}$
Tu élèves au carré pour obtenir la relation proposée.
Cette question est là pour d'indiquer la méthode à utiliser pour les questions suivantes.

b) Tu utilises la propriété du a) au vecteur $\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$

Ainsi :
$||\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}|{|}^2=(\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}).(\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y})$

Tu développes le membre de droite, tu mets les normes au bons endroits et tu obtiens la relation demandée

c) Tu as dû faire une faute de frappe car le 7 que tu mets n'a aucun sens... je pense qu'il s'agit de $\lambda$

Toujours la même méthode ( vu au a) et au b) )

$f(\lambda )=||\overrightarrow{X}+\lambda \overrightarrow{Y}|{|}^2=(\overrightarrow{X}+\lambda \overrightarrow{Y}).(\overrightarrow{X}+\lambda \overrightarrow{Y})$

Tu fais comme pour la b) : tu développes le membre de droite, tu mets les normes aux bons endroits et tu trouves (en l'ordonnant suivant les puissances décroissantes de $\lambda$:

$f(\lambda )=||\overrightarrow{Y}|{|}^2{\lambda }^2+2\lambda \overrightarrow{X}.\overrightarrow{Y}+||\overrightarrow{X}|{|}^2$
$f(\lambda )$ est le carré d'une norme , donc $\boxed{f(\lambda )\ge 0}$

Tu fais à part le cas particulier $||Y|{|}^2=0$ et tu obtiens le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz

Pour $||Y|{|}^2\ne 0$, $f(\lambda )$ est polynôme du second degré ayant un signe constant, donc son discriminant est négatif : $\Delta \le 0$

d) Tu explicites $\Delta$ et tu le divises par 4, d'où, après transposition :

$(\overrightarrow{X}.\overrightarrow{Y}{)}^2\le ||\overrightarrow{X}|{|}^2\times ||{\overrightarrow{Y}}^2||$

En prenant la racine carrée de chaque membre, tu obtiens l'inégalité de Cauchy-Schwarz

$\boxed{|\overrightarrow{X}.\overrightarrow{Y}|\le ||\overrightarrow{X}||\times ||\overrightarrow{Y}|}$

Je t'ai donné la trame du travail mais il faut développer tous les calculs.

Bons calculs .

[MOUNA8]

Bonjour, je vous remercie pour votre réponse mais je n'arrive vraiment pas à comprendre pourquoi f(lambda) est supérieur ou égale à 0

[mtschoon]

@mimims ,

Réponse à ta dernière question :

Parce que $f(\lambda )$ est une norme (et au carré en plus !)

ton énoncé indique :

$f(\lambda )=||\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}|{|}^2$, d'où son signe.

[MOUNA8]

@mtschoon je vous remercie, tout est clair maintenant !

[mtschoon]

De rien @mimims.
Contente que tout soit clair pour toi et bon travail.