Équivalents de suites réelles
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Amaury Dufour dernière édition par Amaury Dufour
Bonjour!
Je suis en classe de MPSI et ai un exercice que je ne sais pas résoudre : je n’arrive pas à trouver un équivalent de la suite réelle suivante:
un=max{x∈]0,+∞[,x=nln(x)}u_n = \max \{ x\in ]0,+\infty[, x = n \ln(x) \}un=max{x∈]0,+∞[,x=nln(x)}
J’ai déjà montré que la suite existait pour tout n≥3n \geq 3n≥3 et que limun=+∞\lim u_n = +\inftylimun=+∞ grâce à une minoration par de unu_nun par nnn
Merci d’avance!
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Amaury-Dufour , bonsoir,
Tu es vraiment sûr(e) de ta question ?
Je me demande si ce n'est pas un équivalent de ln(Un)ln(U_n)ln(Un) qui t'est demandé .Je te mets en lien un énoncé (exercice 1) qui te donne la marche à suivre.
Regarde seulement les questions 1) et 3).
Il faut que tu alternes les notations entre le UnU_nUn que tu donnes ici et le vnv_nvn du lien.
https://www.normalesup.org/~glafon/eiffel12/DS6.pdfAvec la notation UnU_nUn que tu donnes ici, tu démontres que pour n≥3n\ge 3n≥3 :
nln(n)<Un<2nln(n)nln(n)\lt U_n\lt 2nln(n)nln(n)<Un<2nln(n)D'où, en prenant le logarithme de chaque membre :
ln(nln(n))<ln(Un)<ln(2nln(n))ln(nln(n))\lt ln(U_n)\lt ln(2nln(n))ln(nln(n))<ln(Un)<ln(2nln(n))En transformant avec les propriétés usuelles des logarithmes
ln(n)+ln(ln(n))<ln(Un)<ln(n)+ln(2)+ln(ln(n))ln(n)+ln(ln(n))\lt ln(U_n)\lt ln(n)+ln(2)+ln(ln(n))ln(n)+ln(ln(n))<ln(Un)<ln(n)+ln(2)+ln(ln(n))En divisant par ln(n) (strictement positif)
1+ln(ln(n))ln(n)<ln(Un)ln(n)<1+ln(2)ln(n)1+\dfrac{ln(ln(n))}{ln(n)}\lt\dfrac{ln(U_n)}{ln(n)}\lt 1+\dfrac{ln(2)}{ln(n)}1+ln(n)ln(ln(n))<ln(n)ln(Un)<1+ln(n)ln(2)
En prenant les limites lorsque n tend vers +∞+\infty+∞, par encadrement :
limn→+∞ln(Un)ln(n)=1\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{ln(U_n)}{ln(n)}=1n→+∞limln(n)ln(Un)=1
Conclusion :
ln(Un)∼ln(n)\boxed{ln(U_n)\sim ln(n)}ln(Un)∼ln(n)Bon travail.