montrer qu'une matrice est nilpotente

[MOUNA8]

Bonjour,

Je dois montrer qu'une matrice est nilpotente, mais je ne voudrais pas procéder par essai, y a t'il une autre manière de faire ?

Voici mon énoncé : On dit qu’une matrice M est idempotente lorsque son carré M^2 est égal à M et nilpotente lorsqu’à partir d’une certaine puissance p, M^p = 0. Montrer que les matrices :

A=( 1/2 1/2 )
1/2 1/2

B= ( 0 1 2 )
0 0 -3
0 0 0

sont respectivement idempotente et nilpotente

[mtschoon]

@mimims , bonjour,

Pour $A$ , en calculant $A^2$ tu obtiens $A^2=A$ donc $A$ idempotente.

Pour $B$, en calculant $B^2$ , tu obtiens $B^2\ne 0$ puis $B^3=0$
$B$ est nilpotente d'indice 3.

Pour faire autrement, regarde ce que t'indique ton cours.
Peut-être est-il indiqué que toute matrice qui n'admet que 0 comme valeur propre est nilpotente.
Si c'est les cas, tu calcules le polynôme caractéristique
$P(X)=Det(B-X{I}_3)$
Sauf erreur, tu dois trouver $P(X)=-X^3$
La seule valeur propre est 0 donc B est nilpotente.

[MOUNA8]

@mtschoon
bonjour, je vous remercie pour votre réponse.
En effet, j'avais trouvé ce résultat mais j'ai essayé de le démontrer parce que j'ai procédé par essai.

[mtschoon]

@mimims , c'est bien si tout est clair pour toi.

Je ne comprends pas très bien ce que tu veux dire "par essai".

Pour savoir si une matrice $M$ est nilpotente, en utilisant seulement la définition, tu pars de $M$ et tu calcules successivement $M^2$, $M^3$, ..., et tu t'arrêtes à la première valeur de p telle que $M^p=0$;
Tu en déduis que M est nilpotente d'indice p.

Evidemment, avec une calculette qui fait du calcul matriciel, c'est plus rapide que de calculer les puissances successives "à la main"...