probabilité variable continue urgent

[yass grb]

bonjour,
après avoir essayer de nombreuse reprise et à cause de la crise sanitaire qui aide pas actuellement je demande votre aide pour un exo en probabilité en variable continue qui me fait des sueurs dans le dos je vous présente se fameux exercice

Exercice 1.3

Une fléchette est lancée au hasard sur une cible circulaire
de rayon 30 cm. Supposons que le joueur n'atteigne la cible qu'avec une
probabilité p (0 < p < 1) et que, s'il touche la cible, il remporte une somme
égale à 50 euros - D, où D est la distance en cm entre le point d'impact de la
fléchette et le centre de la cible. On suppose que D a une densité constante.
S'il rate la cible, il ne touche rien. Calculer la fonction de répartition, la
moyenne et la variance du gain du joueur.

[mtschoon]

@yass-grb , bonjour,

Je regarde un peu car je vois que tu n'as pas eu encore de réponse.

J'espère avoir compris l'énoncé...

Quelques pistes à expliciter,

J'appelle G le gain du joueur.
$0\le D\le 30$ <=> $20\le 50-D\le 50$ <=> $20\le G\le 50$

Fonction de répartition : on cherche $Pr(G\le x)$
1er cas :
Pour $x\le 20$, on est "hors cible", donc $Pr(G\le x)=1-p$

2ème cas:
Pour $20\le x\le 50$, on est sur la cible
$Pr(G\le x)=Pr(G\le 20)+Pr(20\le G\le x)$
$Pr(G\le x)=1-p+p\left(\frac{x-20}{30}\right)$

3ème cas :
Pour $x>50$ ,
$Pr(G\le x)=1$

Pour calculer moyenne et variance, il faut avoir la densité g du gain.
On dérive les valeurs de la fonction de répartition
1er cas :
Pour $x\le 20$ , $g(x)=0$

2ème cas:
Pour $20\le x\le 50$, $g(x)=\frac{p}{30}$

3ème cas :
Pour $x>50$ , $g(x)=0$

Moyenne $E(x)={\int }_{20}^{50}x\left(\frac{p}{30}\right)dx$
on compte.

Variance (par exemple)
$V(x)=E(x^2)-(E(x){)}^2$ avec $E(x^2)={\int }_{20}^{50}{x}^2\left(\frac{p}{30}\right)dx$
on compte.

Bons calculs.