Points critiques + Min/Max/Point selle


  • Rémy E

    Bonjour,
    Il me faut trouver 4 points critiques pour cette fonction + si c'est un max, min, ou point selle :
    f(x,y) = x^3 +3x^2-3x^2-3y^2+10
    866fe651-c0a2-4cf1-9944-97091aaaf150-image.png
    Merci d'avance.


  • mtschoon

    @Rémy-E a dit dans Points critiques + Min/Max/Point selle :

    Bonjour,
    Il me faut trouver 4 points critiques pour cette fonction + si c'est un max, min, ou point selle :
    f(x,y) = x^3 +3x^2-3x^2-3y^2+10
    866fe651-c0a2-4cf1-9944-97091aaaf150-image.png

    @Rémy-E , bonjour,

    Je pense que tu t'es trompé de rubrique car cet énoncé n'est pas au programme de Terminale S.
    La modération le déplacera éventuellement.


  • mtschoon

    @Rémy-E , je te mets quelques pistes pour démarrer.

    f(x,y)=x3+3xy2−3x2−3y2+10f(x,y)=x^3+3xy^2-3x^2-3y^2+10f(x,y)=x3+3xy23x23y2+10

    Regarde ton cours.
    Tu dois calculer les dérivées partielles
    δfδx(x,y)=3x2−6x+3y2\dfrac{\delta f}{\delta x}(x,y)=3x^2-6x+3y^2δxδf(x,y)=3x26x+3y2
    δfδy(x,y)=6xy−6y\dfrac{\delta f}{\delta y}(x,y)=6xy-6yδyδf(x,y)=6xy6y

    Les points critiques sont solutions du système :
    {3x2−6x+3y2=06xy−6y=0\begin{cases}3x^2-6x+3y^2=0\cr 6xy-6y=0\end{cases}{3x26x+3y2=06xy6y=0

    Sauf erreur, après résolution, tu dois trouver 4 points critiques
    (2,0),(1,1),(1,−1),(0,0)(2,0), (1,1), (1,-1),(0,0)(2,0),(1,1),(1,1),(0,0)

    Ensuite, tu dois avoir des théorèmes dans ton cours.

    Soit a est un point critique de f
    Tu calcules
    r=δ2fδx2(a) r=\dfrac{\delta^2 f}{\delta x^2}(a) r=δx2δ2f(a) 

    s=δ2fδxδy(a) s=\dfrac{\delta^2 f}{\delta x \delta y}(a) s=δxδyδ2f(a) 

    t=δ2fδy2(a) t=\dfrac{\delta^2 f}{\delta y^2}(a) t=δy2δ2f(a) 

    Tu distingue les cas :

    Si rt−s²>0 et r>0, f admet un minimum relatif en a.
    Si rt−s²>0 et r<0, f admet un maximum relatif en a.
    Si rt−s²<0, f n'admet pas d'extremum en a, il y a un point selle.
    Si rt−s²=0, on ne peut pas conclure.

    Bons calculs .


  • Rémy E

    @mtschoon Oui effectivement, n'habitant pas en France je ne connais rien à vos systèmes universitaires/collégiaux 🙂 Merci quand même pour ta réponse !


  • Rémy E

    Ce message a été supprimé !

  • L

    Merci
    Ce n'était vraiment pas si compliqué.


  • mtschoon

    De rien @LiamOgden

    Il fallait maîtriser le cours, surtout.

    Bon travail à toi et à@Rémy-E


  • Rémy E

    @mtschoon J'ose encore te demander comment tu as trouvé les 4 points critiques ?
    Merci d'avance.


  • B

    @Rémy-E

    Bonjour,

    Recherche des points critiques.

    On écrit le système correspondant à l'annulation des dérivées partielles premières de f par rapport à x et à y.

    On arrive au système :

    3x²-6x+3y² = 0
    6xy-6y = 0

    x²-2x+y² = 0
    xy - y = 0

    x²-2x+y² = 0 (1)
    y.(x-1) = 0 (2)

    (2) --> y = 0 OU x = 1

    Si y = 0, (1) --> x²-2x = 0
    x(x-2) = 0 et donc x = 0 ou x = 2

    Les points de coordonnées (0 ; 0) et (2 ; 0) sont des points critiques.

    Si x = 1, (1) --> -1 = y²
    y² = 1
    y = -1 OU y = 1

    Les points de coordonnées (1 ; -1) et (1 ; 1) sont des points critiques.

    Il y a donc 4 points critiques, ils ont pour coordonnées (0 ; 0) , (2 ; 0) , (1 ; -1) et (1 ; 1)


  • mtschoon

    @Rémy-E a dit dans Points critiques + Min/Max/Point selle :

    @mtschoon J'ose encore te demander comment tu as trouvé les 4 points critiques ?
    Merci d'avance.

    Tu peux oser @Rémy-E !
    Comme Black-Jack vient de faire les calculs, je ne les refais pas.
    Je pense qu'ils vont te convenir.


  • Rémy E

    @Black-Jack @mtschoon Merci beaucoup ! J'ai effectivement un peu de peine avec ce genre d'exercices... mais avec un développement comme le vôtre je commence à comprendre la méthodologie 🙂


  • mtschoon

    @Rémy-E , c'st le but que tu comprennes !
    Nous faisons au mieux.
    Bon travail.


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Merci à la modération d'avoir déplacer le topic car, en France, les fonctions à deux variables ne s'étudient qu'en Post Bac.


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