Factorisation polynôme

[billy mckenzie]

Bonjour je n’arrive pas à savoir comment résoudre cette question. Merci d’avance pour votre aide

Voici l'énoncé

Soit n ≥ 0 un entier et P un polynôme de degré n tel que, pour tout entier 0 ≤ k ≤ n, P(k) = k/(k+1) ,. L'objectif de cet
exercice est de déterminer P(n + 1).

(1) Soit le polynôme Q = (X + 1)P - X. Factoriser complètement Q. à une constante multiplicative \alpha près
(Indice : quelles racines de Q connaissez-vous ?)

[mtschoon]

@billy-mckenzie , bonjour,

Je pense que tu as posé la question 1 de l'exercice.

Idée de départ,

$Q=0$ <=> $(X+1)P=X$ <=> $P=\frac{X}{X+1}$

D'après l'hypothèse sur $P$, on connait (n+1) valeurs prises par $P$ qui sont $\frac{k}{k+1}$ avec $0\le k\le n$ , c'est à dire $0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},...,\frac{n}{n+1}.$

P est de degré n
Q est de degré (n+1)
On connait donc toutes les racines de Q qui peut ainsi se factoriser en

$Q=\alpha (X-0)(X-\frac{1}{2})(X-\frac{2}{3})...(X-\frac{n}{n+1})$