Loi conjointe du couple probabilité

dans un super marche, 50 % des clients reglent leurs ahats avec des cheques, 40 % reglent en espece et 10 % avec carte bancaire.
on choisit deux clients. soit X e nombre de clients parmi les deux qui reglet avec des cheques et Y le nombre de clients parmi les deux qui paie en espece

calcler la loi conjoite du couple (X Y)

a- les loies marginales X et Y et leurs caracteristique (esperence et ecart type)
b- la loi conditionnelle de Y/X et ses caracteristiques
3 )
a- la fonction generatrice bivariee des moments du couple (X Y) et en deduire la covariance cov(X Y)
b- le coefficient de correlation lineaire r(X Y) et interpreter
4) deerminer la loi de probabilité des clients payant en espece sachant qu'un des clients a paye en par carte bancaire

merci de m'aider car je suis habitue pour cet exerci a des tableaux aec des valeur a contingenter avant d'obtenir les probailites
ici j'arrive pas a determiner les valeurs de X et Y et le prabailite des couple respectifs

@loicstephan , bonjour,

Je te donne quelques pistes sur la loi conjointe (avec lois marginales) pour que tu puisses ensuite traiter ton exercice.

Pour chaque client du super-marché, la probabilité de payer par chèque est 0,5, celle de payer en espèce est 0.4 et celle de payer par carte est 0.1

Soit a et b les deux clients du super-marché.

X est le nombre de clients, parmi a et b, qui règlent par chèque , donc X prend les valeur 0,1,2

Y est le nombre de clients, parmi a et b, qui règlent en espèce , donc Y prend les valeur 0,1,2

Tu fais le tableau à double entrée ( par exemple X en ligne et Y en colonne)

Je t'indique le raisonnement de la première ligne

(X,Y)=(0.0) : a et b règlent par carte . Probabilité $0.1)^2=0.01$
(X,Y)=(1,0) : a OU b règle par chèque et l'autre règle par carte : Probabilité $C (2, 1) (0.5) (0.1) = 0.10$
(X,Y)=(2.0) : a et b règlent par chèque . Probabilité $0.5)^2=0.25$

Tu continues et tu vérifies que la somme des valeurs des lois marginales vaut bien 1.

Je te joins un tableau.
Recompte le car j'ai fait vite.

Bons calculs.

@mtschoon a dit dans Loi conjointe du couple probabilité :

X,Y)=(1,0) : a OU b règle par chèque et l'autre règle par carte : Probabilité C(2,1)(0.5)(0.1)=0.10C(2,1)(0.5)(0.1)=0.10C(2,1)(0.5)(0.1)=0.10

bonjour madame
si $X$ prend la valeur $1$ et $0$ pour Y il y a deux possibilite pour Y soit il regle aussi par cheque soit il egle par espece du coup la probabilite conjointe est $0.5 \times (0.5+0.1)$ car si y ne regle pas par espece il peut soit regler par cheque soit regler par carte

qu'en pensez vous ou alors j'analyse mal je suis un peu perplexe vis a vis de votre raisonnement notemment pour le couple $(1, 0)$

@loicstephan ,

Prends le temps de revois ça de près...
Il ne peut pas y avoir de "+" dans ce calcul (en prenant une combinaison) et ton dénombrement n'est pas bon.

@mtschoon
okay!

@loicstephan , je t'explicite le cas $(1, 0)$ si ça t'arrange.

Vu que Y=0, ni a ni b règle en espèce.

Vu que X=1, un règle en chèque et l'autre règle par carte

Tu as deux façons de faire calcul (qui reviennent au même)

1ère méthode :
On choisit une personne parmi les deux qui règle par chèque , et l'autre règlera forcément par carte soit
$C21×(0.5)×(0.1)=2×(0.5)×(0.1)=0.01C_2^1\times (0.5)\times (0.1)=2\times (0.5)\times (0.1)=\boxed{0.01}$
C'est pour cela que je t'ai indiqué qu'il n'y avait pas de "+"

C'est ce qui me parait le mieux

2ème méthode si tu souhaites vraiment avoir un "+" : tu sépares les deux cas (au lieu d'utiliser une combinaison) et tu ajoutes.

1ère possibilité : a règle par chèque et b par carte : $0.5×0.10.5\times 0.1$
2ème possibilité : a règle par carte et b par chèque : $0.1×0.50.1\times 0.5$
TOTAL : $(0.5×0.1)+(0.1×0.5)=2×0.5×0.1=0.01(0.5\times 0.1)+(0.1\times 0.5)=2\times 0.5\times 0.1=\boxed{0.01}$

@mtschoon a dit dans Loi conjointe du couple probabilité :

2ème méthode si tu souhaites vraiment avoir un "+" : tu sépares les deux cas (au lieu d'utiliser une combinaison) et tu ajoutes.
1ère possibilité : a règle par chèque et b par carte : 0.5×0.10.5\times 0.10.5×0.1
2ème possibilité : a règle par carte et b par chèque : 0.1×0.50.1\times 0.50.1×0.5
TOTAL : (0.5×0.1)+(0.1×0.5)=2×0.5×0.1=0.01(0.5\times 0.1)+(0.1\times 0.5)=2\times 0.5\times 0.1=\boxed{0.01}(0.5×0.1)+(0.1×0.5)=2×0.5×0.1=0.01

elle est olus comprehensible mais alors on prend pas en consideration Y est ce qui le fait que ni a ni b regle en espece siggifi qu'il y a pas de probabilite? en d'autres termes quelle est la probabilite que qucun des deux client ne regle en espece?

@loicstephan
je pense que cette probabilite est de $0.1^2$ qu'est ce que vous en pensez?

@loicstephan ,

il faut d'abord savoir de quel évènement il s'agit et ensuite (seulement ensuite ) chercher la probabilité correspondante.

Y=0 veut dire que a et b ne règlent pas en espèce, donc ils uilisent forcément carte / chèque.
Comme X=1, un ( un seul ) utilise chèque dont l'autre, par déduction, utilise carte. C'est de la logique .
Ensuite, tu calcules la probabilité correspondante.

$0.1)^2$ donne effectivement 0.01, mais cela ne reflète pas la démarche à faire.

@mtschoon
ca veut dire qu'a chaque fois que $X$ ou $Y$ prend la valeur 0 on exclu deja ce ces cas la merci
maintenat si $X$ ou $Y$ prend la valeur 1 ou a deux possibilite soit a utiise le moyen de paiement de $X$ et $b$ ne le fais pas soit $b$ le fait et $a$ ne le fait pas selon que l'on analyse $X$ ou $Y$
maintenat losque $X$ ou $Y$ prend la valeur $2$ les deux client utilise le moyen de paiment de $X$ et vice versa
je crois que ca synthetise un peu dite le moi si j'ai bien compris j'ai ssaie de raissoner comme ca et le compare mes resultats aux votres

merci bien j'ai tout analyse ca corobore merci je passe aux questions suivantes !

pour la quesstion suivante les loi marginales sont l'ensemble des valeur de $X$ et
je joins mes calculs et je passe a la question suivante!

@loicstephan , bonsoir,

Les lois marginales sont écrites en orangé sur mon tableau et tu peux voir que les deux sommes valent bien 1.

Vérifie si tu trouves pareil.

je joins la loi de Y/X

en ce qui concerne la fonction generatrice bivariee je bloque un peu!

@loicstephan , re-bonjour,

IL faudra que tu regardes ton cours de près car je n'ai plus les définitions en tête.

Bon travail.

bonsoir madame @mtschoon
je joins ici un lien
https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction_génératrice/Fonction_génératrice_d'un_couple_de_variables_aléatoires

je n'ai personellement pas encore fait d'application
donc je continu avec les question suivante sur la correlation et la covariance

@loicstephan , bonjour,

Pour la covariance, il y a plusieurs formules possibles.
Le plus clair me parait être celle-ci :

$c o v (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$

Tu as déjà calculé $E (X)$ et $E (Y)$
$E (X) = 1$ et $E (Y) = 0.8$

Il te reste à calculer $E (X Y)$
Tu utilises le tableau de la loi conjointe.
Pour chaque valeur $x_i,y_j)$ du couple(X,Y), tu calcules le produit $x_iy_j$ que tu multiples par la probabilité $p_{i,j}$ associée et tu ajoutes.

Ici, ça te fait 9 termes à ajouter dont 1 seul n'est pas nul

$E(XY)=(1×1)×0.4=0.4E(XY)=(1\times 1) \times 0.4=0.4$

Donc $c o v (X, Y) = 0.4 - (1) (0.8) = - 0.4$

Le coefficient de corrélation linéaire, noté souvent $r$ est :

$r=cov(X,Y)σ(X)σ(Y)r=\dfrac{cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$

Tu as déjà calculer les deux écarts-type et tu as $c o v (X, Y)$ , donc tu peux caluler $r$

Si besoin, tu peux regarder là.
http://renaud.bourles.perso.centrale-marseille.fr/MathsFi/Chap 5 - Couple de variables aleatoires.pdf

bonsoir merci bien madame !
je suppose qu'a la question 4 on me demande P(Y/X=1)
puis que si x prend la aleur 2 tous les client paient en ccheque donc aucun par carte de meme si X=0 aucun ne paie en cheque donc plus de 1 paeint par carte si oui dite le moi je determine

de meme pour la fonction generatrice du couple je join cette image
qui donne la formule

@loicstephan , bonjour,

Je regarde ta proposition pour la question 4

Non, il n'est pas question de X=1, car X représente le nombre de de clients qui règlent par chèque, alors qu'il s'agit dans cette question du nombre de clients qui règlent par carte bancaire

Tu peux prendre une nouvelle variable Z représentant le nombre de clients qui règlent par carte bancaire

Si Z=1, Y prend les valeurs 0 , 1.

La question consiste à chercher deux probabilités conditionnelles :

$PZ=1(Y=0)\boxed{P_{Z=1}(Y=0)}$ et $PZ=1(Y=1)\boxed{P_{Z=1}(Y=1)}$

Pour $Z = 1$ et $Y = 0$ , on déduit que $X = 1$

$PZ=1(Y=0)=P(X=1)∩(Y=0)P(Z=1)=P((X,Y)=(1,0))P(Z=1)P_{Z=1}(Y=0)=\dfrac{P(X=1)\cap (Y=0)}{P(Z=1)}=\dfrac{P((X,Y)=(1,0))}{P(Z=1)}$

Pour $Z = 1$ et $Y =$ 1, on déduit que $X = 0$

$PZ=1(Y=1)=P(X=0)∩(Y=1)P(Z=1)=P((X,Y)=(0,1))P(Z=1)P_{Z=1}(Y=1)=\dfrac{P(X=0)\cap (Y=1)}{P(Z=1)}=\dfrac{P((X,Y)=(0,1))}{P(Z=1)}$

Les numérateurs de ces deux probabilités se lisent dans le tableau de la loi conjointe (couleur orange dan mon schéma)

Reste à calculer $P (Z = 1)$

Si $Z = 1$ , $(X, Y) = (0, 1)$ ou $(X, Y) = (0, 1)$
Donc,

$P (Z = 1) = P ((X, Y) = (0, 1)) + P ((X, Y) = (1, 0))$

Le dénominateur de ces deux probabilités se calcule en ajoutant deux valeurs du tableau de la loi conjointe (couleur orange dan mon schéma)

Bons calculs.